Геометрия почти без фантазии: оттачиваем практические навыки

Задача 1.

Задача из группы «Math-Досуг», картинка их же

Задача 1

Решение. Рассмотрим треугольник $OCK$. Он тупоугольный с углом $\angle OKC=135^{\circ}$. Запишем для него теорему синусов:

$$\frac{OC}{\sin 135^{\circ}}=\frac{OK}{\sin OCK}$$

Делаем некоторые дополнительные построения

$$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{\sqrt{2}}{\sin OCK}$$

Откуда

$$\sin OCK=\frac{1}{2}$$

$$\angle OCK=30^{\circ}$$

Тогда последний угол в этом треугольнике - $\angle KOC=15^{\circ}$. Значит, $\angle DOC=30^{\circ}$. Площадь сектора $DOC$ равна $\frac{1}{12}$ части площади круга, или

$$S_{DOC}=\frac{\pi R^2}{12}=\frac{4\pi}{12}=\frac{\pi}{3}$$

Запишем теперь теорему косинусов для треугольника $DOC$:

$$ OK^2= KC^2 +OC^2-2KC\cdot OC\cos OCK$$

$$(\sqrt{2})^2=KC^2+2^2-2KC\cdot 2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$$

Получили квадратное уравнение:

$$ KC^2-2\sqrt{3}KC+2=0$$

$$D=4$$

$$KC=\sqrt{3}-1$$

Второй корень не подойдет, так как против самого маленького угла в треугольнике должна лежать и самая маленькая сторона.

Высоту треугольника $OKC$ опустим из точки $C$ на продолжение $OK$, и эта высота будет в $\sqrt{2}$ раз меньше, чем $KC$, то есть будет равна

$$h=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}$$

Площадь треугольника $OKC$ равна

$$S_{OKC}=\frac{1}{2}\cdot OK \cdot h=\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}-1}{2}$$

Площадь двух таких треугольников равна $\sqrt{3}-1$. Поэтому искомая площадь сектора может быть найдена как

$$\frac{\pi}{3}-(\sqrt{3}-1)= \frac{\pi}{3}-\sqrt{3}+1$$

Ответ: $\frac{\pi}{3}-\sqrt{3}+1$.

Задача 2.

Необходимо найти площадь квадрата. Задача из группы «Math-Досуг», картинка их же.

Задача 2

Продлим прямые $CB$ и $DA$ до пересечения в точке $O$. Угол $AOB=30^{\circ}$ как накрестлежащий. Угол $ADC=75^{\circ}$ как осколок прямого. То есть треугольник $ODC$ равнобедренный!

Продлеваем прямые до пересечения

Пусть сторона квадрата $a$. Тогда отрезок $BM=a-2$, $BC=2(a-2)=2a-4$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. В нем $AB=2$, $OB=4$, $AO=2\sqrt{3}$.

Треугольник $ODC$ равнобедренный, следовательно,

$$OD=OC$$

$$a+2\sqrt{3}=4+2a-4$$

$$a=2\sqrt{3}$$
Площадь квадрата

$$S=a^2=12$$

Ответ: 12.