Геометрия Math-Досуг: площади квадратов и кругов в сочетаниях, определение углов косвенно

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. По теореме о секущей и касательной

$$5^2=1(L-1+1)$$

$$L=25$$

$$L-1=24$$

Тогда по теореме Пифагора

$$(L-1)^2+10^2=(2R)^2$$

$$2R=\sqrt{26^2}$$

$$R=13$$

Дополнительные построения

Чтобы найти искомую площадь, будем рассуждать так. Она состоит из двух частей: первая – разность площади трапеции (плюс площадь прямоугольника) и половины круга (снизу слева), вторая – разность площади половины круга и площади треугольника (вверху справа). Таким образом, полкруга сокращаются. Остается разность площадей трапеции (плюс площадь прямоугольника) и треугольника:

$$S_{trap}-S_{treug}=\frac{1+25}{2}\cdot 10+(13-5)\cdot 25-\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 24=130+200-120=210$$

Ответ: 210.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Пусть угол $BDE=x$, отрезок $AD=y$, отрезок $ED=a$. Тогда, во-первых,

$$\alpha=12^{\circ}+x$$

Обозначения для решения

Во-вторых, теорема синусов для $ADE$:

$$\frac{a}{\sin 30^{\circ}}=\frac{y}{\sin \alpha}$$

$$\frac{y}{\sin \alpha}=2a$$

$$a=\frac{y}{2\sin \alpha}$$

Теорема синусов для $ADC$:

$$\frac{a}{\sin 42^{\circ}}=\frac{y}{\sin 84^{\circ}}$$

$$\frac{a}{\sin 42^{\circ}}=\frac{y}{2\sin 42^{\circ}\cos 42^{\circ}}$$

$$a=\frac{y}{2\cos 42^{\circ}}$$

Приравниваем оба выражения для $a$:

$$a=\frac{y}{2\sin \alpha}=\frac{y}{2\cos 42^{\circ}}$$

Откуда $\sin \alpha=\cos 42^{\circ}$, следовательно, $\alpha=48^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=48^{\circ}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Пусть сторона большого квадрата равна $a=1$, тогда радиус окружности равен $2R=a=1$, $R=0,5$.

Следовательно, площадь круга

$$S_0=\pi R^2=0,25\pi$$

Тогда

$$S_1=\frac{a^2-S_0}{4}=\frac{1-0,25\pi}{4}$$

Дополнительно обозначим площади, из которых сложится искомая

Диагональ меньшего квадрата равна $2R$, тогда его сторона $\sqrt{2}R$. Площадь меньшего квадрата равна $S_{malkv}=2R^2$, а

$$S_2=\frac{S_0- S_{malkv}}{4}=\frac{0,25\pi -2R^2}{4}=\frac{0,25\pi -0,5}{4}$$

Складываем:

$$S_1+S_2=\frac{1-0,25\pi}{4}+\frac{0,25\pi -0,5}{4}=0,25-0,125=0,125$$

Ответ: 0,125