Геометрия Math-Досуг: длины отрезков

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. В треугольнике $BFG$ $FO$ - высота, так как диагонали квадрата перпендикулярны.

Для треугольника $BOF$, прямоугольного, теорема синусов:

$$\frac{BF}{\sin 90^{\circ}}=\frac{BO}{\sin BFO}$$

Если сторону квадрата принять за $a$, то $BO=\frac{a}{\sqrt{2}}$.

$$8=\frac{BO}{\sin BFO}=\frac{\frac{a}{\sqrt{2}}}{\sin BFO}$$

Но $\sin BFO=\cos OFG$.

$$\cos OFG=\frac{a}{8\sqrt{2}}$$

Теперь теорема синусов для $CFE$:

$$\frac{CE}{\sin OFG}=\frac{FE}{\sin 45^{\circ}}$$

$$\frac{\frac{a}{2}}{\sqrt{1-\frac{a^2}{128}}}=\frac{FE}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$FE=\frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{1-\frac{a^2}{128}}}$$

Для треугольника $BFE$ теорема Пифагора:

$$BF^2+FE^2=BE^2$$

$$8^2+\frac{2a^2}{16\left(1-\frac{a^2}{128}\right)}=\left(\frac{a\sqrt{5}}{2}\right)^2$$

$$64+\frac{a^2}{8\left(1-\frac{a^2}{128}\right)}=\frac{5a^2}{4}$$

$$\frac{16a^2}{16\cdot 8-a^2}+64=\frac{5a^2}{4}$$

$$16a^2+64(128-a^2)= \frac{5a^2}{4}(128-a^2)$$

$$\frac{5}{4}a^4-208a^2+64\cdot 128=0$$

$$D=48^2$$

$$a^2=102,4$$

$$a=\frac{32}{\sqrt{10}}$$

$$FE=\frac{\frac{32}{\sqrt{5}}}{4\sqrt{1-\frac{102,4}{128}}}=\frac{8\sqrt{5}}{\sqrt{1-0,8}}=8$$

Определим $FO$ в треугольнике $BFO$:

$$FO=\sqrt{BF^2-BO^2}=\sqrt{64-\frac{256}{5}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$$

Пользуемся теоремой о высоте прямоугольного треугольника:

$$FO^2=BO\cdot OG$$

$$OG=\frac{FO^2}{ BO}=\frac{\frac{64}{5}}{\frac{16}{\sqrt{5}}}=\frac{4}{\sqrt{5}}$$

Ну и наконец, $x$ в треугольнике $FOG$ по теореме Пифагора:

$$FO^2+OG^2=FG^2=x^2$$

$$\frac{64}{5}+\frac{16}{5}=x^2$$

$$x^2=\frac{80}{5}=16$$

Откуда $x=4$.

Ответ: 4.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Можем воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике $COD$:

$$CD^2=CO^2+OD^2-2CO\cdot OD\cos \beta$$

$$36=10^2+10^2-200\cos \beta$$

$$\cos \beta=0,82$$

Вводим угол $\beta$

Ну а зная $\cos \beta$, можно найти $\cos 3\beta$:

$$\cos 3\beta=4\cos^3 \beta-3\cos \beta=-0,25428$$

По теореме косинусов $AD$:

$$AD^2=AO^2+OD^2-2AO\cdot OD\cos 3\beta$$

$$ AD^2=10^2+10^2-200\cdot (-0,25428)$$

$$AD^2=250,9056$$

$$AD=15,84$$

При расчетах пользовалась калькулятором))

Ответ: $AD=15,84$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Для треугольника запишем теорему Пифагора:

$$(3+r)^2+(5+r)^2=64$$

$$9+6r+r^2+25+10r+r^2=64$$

$$r^2+8r-15=0$$

Решение дает $r=\frac{-8+\sqrt{124}}{2}=-4+\sqrt{31}$. Тогда катеты треугольника равны $r+3=\sqrt{31}-1$, $r+5=\sqrt{31}+1$.

Площадь такого треугольника равна

$$S=\frac{(\sqrt{31}+1)( \sqrt{31}-1)}{2}=\frac{30}{2}=15$$

Ответ: 15.