Геометрия из экзамена "Профи" для учителей

Задача 1.

Площадь прямоугольного треугольника с гипотенузой $5\sqrt{2}$ и острым углом $22,5^{\circ}$ равна…

Решение. Найти площадь такого треугольника сложно, а вот если к нему рядышком пристроить такой же… Угол уже будет $45^{\circ}$, и это очень хорошо! Сложить треугольники надо длинными катетами, чтобы две гипотенузы образовали две стороны нового равнобедренного треугольника, а два коротких катета – его основание.

Рисунок к задаче 1

$$S=\frac{1}{2}\cdot a^2\sin 2\alpha=\frac{1}{2}\cdot (5\sqrt{2})^2\sin 45^{circ}=25\frac{\sqrt{2}}{2}=12,5\sqrt{2}$$

Это площадь «удвоенного» треугольника. Наша – вдвое меньше: $6,25\sqrt{2}$.

Ответ: $6,25\sqrt{2}$.

Задача 2.

Площадь прямоугольника с наибольшим периметром, вписанного в полуокружность радиуса $\sqrt{3\sqrt{2}}$, равна…

Решение. Этим прямоугольником будет квадрат.

Рисунок к задаче 2

$$a^2+\frac{a^2}{4}=3\sqrt{2}$$

$$\frac{5}{4}a^2=3\sqrt{2}$$

$$S=a^2=2,4\sqrt{2}$$

Ответ: $S=a^2=2,4\sqrt{2}$

Задача 3.

Площадь четырехугольника, все вершины которого имеют целочисленные координаты, удовлетворяющие условию $x^2+6x+y^2+2y=-1$, равна…

Решение. Преобразуем:

$$x^2+6x+9-9+y^2+2y+1=0$$

$$(x+3)^2+(y+1)^2=9$$

Это окружность с центром  точке $(-3; -1)$ и радиусом $R=3$. Она проходит через 4 точки с целочисленными коэффициентами: $(-3,2), (-6;-1), (-3;-4), (0;-1)$. Искомый четырехугольник – квадрат со стороной $3\sqrt{2}$. Его площадь

$$S=a^2=18$$

Ответ: 18.

Задача 4.

Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведенная к третьей стороне, равна 9. Площадь данного треугольника составляет…

Решение. Видишь медиану – удвой!

Видишь медиану - удвой!

Закрашенные треугольники равны, равны и их площади. Поэтому найдем площадь образовавшегося при удвоении медианы треугольника со сторонами 10, 12, 18. Это легко сделать по Герону:

$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}$$

$$p=\frac{a+b+c}{2}=\frac{10+12+18}{2}=20$$

$$S=\sqrt{20(20-10)(20-12)(20-18)}=\sqrt{20\cdot 2\cdot 10\cdot 8}=40\sqrt{2}$$

Ответ: $S=40\sqrt{2}$.

Задача 5.

Два равных конуса с объемами 16 расположены так, что вершина каждого из них совпадает с центром основания другого. Объем их общей части равен…

Осевое сечение двух конусов

Решение. Конусы пересекутся по «средней линии»  - окружности, проходящей параллельно основанию через середину высоты каждого из них. Этим сечением отрезается верхняя часть каждого конуса, который подобен большому с коэффициентом 2. А значит, его объем в $k^3=8$ раз меньше объема большого конуса, то есть равен 2. Общая часть будет иметь объем 4.

Ответ: 4.