Геометрические задачи из группы Math-Досуг, разное

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Замечаем, что тангенс выделенных углов легко найти в самом левом маленьком треугольнике, он равен

$$\operatorname{tg}\alpha=\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$$

Таким будет тангенс обоих углов, поскольку они равны.

Тангенс суммы этих углов

$$\operatorname{tg}(2\alpha)=\frac{2\operatorname{tg}\alpha }{1-\operatorname{tg}^2\alpha }=\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}=\frac{3}{4}$$

Таким образом, сумма длин основания обоих треугольников равна

$$24-x=\frac{3}{4}\cdot 24=18$$

Откуда $x=6$.

Ответ: $x=6$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Заметим, что радиус окружности (показаны рыжим цветом) равен 13. Тогда в треугольнике $OBK$ $OB=R=13$, $KB=12$, значит, по теореме Пифагора $OK=5$. Тогда $x=8$.

Делаем дополнительные построения для решения

По теореме о секущей и касательной

$$12^2=x(x+y)=8(8+y)$$

Откуда

$$y=10$$

Площадь прямоугольника равна $S=25\cdot 18=450$.

Ответ: $S=450$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Примем сторону квадрата за 3. Тогда отрезок $DF=2$, отрезок $AK=CF=m$ - этот пока неизвестен. Треугольники $AKD$ и $DBF$ подобны с коэффициентом 2, поэтому $FB=2m$. Так как треугольник $MAB$  равнобедренный, то $AB=BM=3+2m$.

Продлеваем отрезки, чтобы получить равнобедренный треугольник

Запишем теорему Пифагора для $ABC$:

$$AC^2+CB^2=AB^2$$

$$(3m)^2+3^2=(3+2m)^2$$

$$9m^2+9=9+12m+4m^2$$

$$12m=5m^2$$

$$m=2,4$$

Таким образом, $AN=0,6$  и $\operatorname{tg}\alpha=\frac{0,6}{3}=\frac{1}{5}$.

Ответ: 0,2.