Две задачи из группы Math-Досуг по геометрии

Обе задачи из группы Math-Досуг, картинки их же.

Задача 1.

Найти площадь представленного на картинке прямоугольника.

Задача 1

Пусть большая сторона прямоугольника $a$, меньшая - $b$.

Применим теорему косинусов

Тогда по теореме косинусов в треугольнике $ABE$ можно записать:

$$a^2=3^2+5^2-2\cdot 3\cdot 5\cdot \cos \alpha$$

Или

$$a^2=34-30 \cos\alpha$$

Где $\alpha=\angle AEB$.

В треугольнике $BEC$ теорема косинусов запишется так:

$$b^2=4^2+5^2-2\cdot 4\cdot 5\cdot \cos \beta$$

Или

$$b^2=41-40\cos\beta$$

Где $\beta=\angle BEC$.

Наконец, для треугольника $AEC$ теорема косинусов запишется как

$$a^2+b^2=3^2+4^2-2\cdot 3\cdot 4\cos(\alpha+\beta)$$

Или

$$a^2+b^2=25-24\cos(\alpha+\beta)=25-24\cos \alpha \cos \beta+24\sin \alpha \sin \beta$$

Можно выразить синусы и косинусы:

$$\cos \alpha=\frac{34-a^2}{30}$$

$$\cos \beta=\frac{41-b^2}{40}$$

$$\sin \alpha=\sqrt{1-\frac{(34-a^2)^2}{900}}$$

$$\sin \beta=\sqrt{1-\frac{(41-b^2)^2}{1600}}$$

Подстановка этих выражений даст:

$$a^2+b^2=25-24\cdot \frac{34-a^2}{30}\cdot \frac{41-b^2}{40}+24\sqrt{\left(1-\frac{(34-a^2)^2}{900}\right)\left(1-\frac{(41-b^2)^2}{1600}\right)}$$

Н-да. Мы не ищем легких путей. Ладно, сократим.

$$a^2+b^2=25-\frac{(34-a^2)( 41-b^2)}{50}+24\sqrt{\left(\frac{900-(34-a^2)^2}{900}\right)\left(\frac{1600-(41-b^2)^2}{1600}\right)}$$

$$a^2+b^2=25-\frac{(34-a^2)( 41-b^2)}{50}+\frac{1}{50}\sqrt{(900-(34-a^2)^2)(1600-(41-b^2)^2)}$$

Под корнем раскрываем разности квадратов и домножаем на 50:

$$50a^2+50b^2=1250-(34-a^2)( 41-b^2)+\sqrt{(30-(34-a^2))(30+(34-a^2))(40-(41-b^2))(40+(41-b^2))}$$

$$50a^2+50b^2=1250-1394+34b^2+41a^2-a^2b^2+\sqrt{(a^2-4))(64-a^2)(b^2-1)(81-b^2)}$$

Наконец,

$$9a^2+16b^2+ a^2b^2+144=\sqrt{(a^2-4))(64-a^2)(b^2-1)(81-b^2)}$$

$$ a^2(9+b^2)+16(b^2+ 9)=\sqrt{(a^2-4))(64-a^2)(b^2-1)(81-b^2)}$$

$$ (a^2+16)(9+b^2)=\sqrt{(a^2-4))(64-a^2)(b^2-1)(81-b^2)}$$

$$(a^2+16)^2(9+b^2)^2=(a^2-4))(64-a^2)(b^2-1)(81-b^2)$$

Если бы варианты ответов не были бы предложены, туго б нам пришлось. А так ясно, что $a\neq 2$, $a\neq 8$, $b\neq 1$, $b \neq 9$ - иначе правая часть равна нулю. Причем $a>2, a<8$, $b>1, b<9$.

Вариант ответа 13 отпадает – простое число. Вариант 14 можно получить, если $a=7, b=2$ - и только так. Подстановка показывает, что верное равенство  не получается. Вариант 15 можно получить, если $a=5, b=3$, или наоборот. Оба варианта не подходят – например, правая часть делится на 13, а левая – нет. Остался только вариант 12: это или 6 на 2, или 4 на 3, или 3 на 4. Проверка показывает, что подходит $a=4, b=3$.

Ответ: 12.

Простое решение по теореме Пифагора: сделаем такой рисунок.

Применим теорему Пифагора

Тогда

$$(x+a)^2+(b-y)^2=25$$

$$x^2+(b-y)^2=9$$

$$y^2+(x+a)^2=16$$

Из третьего вычтем первое уравнение:

$$y^2-(b-y)^2=-9$$

И теперь сложим со вторым:

$$x^2+y^2=0$$

Откуда $x=0$, $y=0$, точки $E$ и $D$ совпадают, ответ 12.

Ответ: 12. Не ищите сложных путей!

 

Задача 2.

Задача на рисунке:

Задача 2

Достроим рисунок и обозначим равные вписанные углы:

Подобные треугольники - не одна пара!

Ба! Сколько подобных треугольников!

Запишем сначала по теореме о секущих, что $8x=AF \cdot FC$. Рассмотрим треугольники $ABF$ и $DFC$ (подобны по двум углам):

$$\frac{AB}{DC}=\frac{BF}{FC}$$

$$\frac{12}{DC}=\frac{8}{FC}$$

Откуда

$$DC=1,5FC$$

Рассмотрим треугольники $AFD$ и $BFC$ (подобны по двум углам, два угла - вертикальные):

$$\frac{BC}{AD}=\frac{BF}{AF}$$

$$\frac{12}{AD}=\frac{8}{AF}$$

Откуда

$$AD=1,5AF$$

Наконец, видим подобные треугольники $ABD$ и $DFC$, для них

$$\frac{AD}{DF}=\frac{BD}{DC}$$

$$\frac{1,5AF}{x}=\frac{8+x}{1,5FC}$$

Или

$$x(x+8)=2,25 AF\cdot FC=2,25\cdot 8x$$

$$x^2=1,25\cdot 8x$$

$$x=10$$

Ответ: 10.