Тигр, лев и гепард

Задача.

Лев, тигр и гепард тренируются в беге на дистанции 1000 м. Тигр и гепард стартовали с одного конца, а лев одновременно стартовал им навстречу с другого конца дистанции. До встречи льва и гепарда лев успел пробежать на 20% меньше, чем тигр после этой встречи. В момент, когда Лев пробежал 300 м, гепард еще не закончил дистанцию. Сколько метров было между тигром и гепардом в этот момент?

Решение аналитическое (автор – Людмила Ивановна Скрипка).

Пусть скорость тигра $\upsilon_{tiger}=x$ м/с, скорость гепарда $\upsilon_{gepard}=y$ м/с, скорость льва - $z$ м/с. Если лев и гепард встретились, значит,

$$t(z+y)=1000$$

Откуда

$$t=\frac{1000}{z+y}$$

Тигр пробежал за время $t$ расстояние $xt$, значит, ему осталось $1000-xt$. Эта величина – 100%, тогда $zt$ - это $100-20=80$%.

$$\frac{1000-xt }{zt}=\frac{100}{80}=\frac{5}{4}$$

$$4(1000-xt)=5zt$$

$$4000=5zt+4xt$$

Откуда

$$t=\frac{4000}{5z+4x}$$

Приравниваем оба времени $t$, полученные разными способами:

$$\frac{1000}{z+y}=\frac{4000}{5z+4x}$$

$$\frac{1}{z+y}=\frac{4}{5z+4x}$$

$$4z+4y=5z+4x$$

$$z=4(y-x)$$

Надо узнать разность расстояний, которая была между тигром и гепардом через время $\frac{300}{z}$:

$$\frac{300}{z}\cdot y-\frac{300}{z}\cdot x=\frac{300(y-x)}{z}=\frac{300(y-x)}{4(y-x)}=\frac{300}{4}=75$$

Ответ: 75 м.

Решение графическое (мое).

Рисуем зависимости пройденного расстояния от времени для трех участников – льва, гепарда и тигра. Сначала обозначим первое условие:

Зависимости пути от времени для всех участников движения

Теперь добавим момент времени, когда львом пройдено 300 м:

Подобие треугольников для решения задачи

Треугольники $ABC$ и $ADF$ подобны, для них

$$\frac{300}{0,8x}=\frac{AD}{AB}$$

А ищем мы расстояние, отмеченное отрезком $KE$.

Треугольники $OEK$ и $OCH$ подобны, для них

$$\frac{EK}{CH}=\frac{EO}{CO}=\frac{AD}{AB}$$

$$\frac{EK}{0,2x}=\frac{AD}{AB}$$

Таким образом,

$$\frac{300}{0,8x}=\frac{EK}{0,2x}$$

И

$$EK=75$$

Ответ: 75 м.

Выбирайте наиболее быстрый и простой для вас путь решения!