Текстовые задачи - 1

Задачи несложные, но есть над чем подумать. Хороши как для подготовки к ОГЭ, так и к ЕГЭ.

Задача 1.

В момент, когда два бассейна были пустыми, 4 трубы одинаковой производительности были подключены для заполнения первого бассейна. Когда первый бассейн был заполнен на $\frac{1}{6}$ его объема, одну трубу переключили для заполнения второго бассейна. Когда первый бассейн был заполнен на $\frac{1}{2}$ его объема, еще 2 трубы переключили для заполнения второго бассейна. После этого оба бассейна наполнились доверху одновременно. Найти отношение объемов бассейнов. (Временем на переключение пренебречь).

Решение.

Объемы бассейнов не обязательно одинаковые – пусть это $V_1$ и $V_2$.

После заполнения на $\frac{1}{6}$ первого бассейна его на втором этапе заполняют три трубы на величину

$$\frac{V_1}{2}-\frac{V_1}{6}=\frac{V_1}{3}$$

Работавшая то же время одинокая труба, перекинутая во второй бассейн, смогла, следовательно, заполнить его на $\frac{V_1}{9}$. Осталось наполнить первый бассейн наполовину, а второй – на $V_2-\frac{V_1}{9}$. При этом первый бассейн наполняет одна труба, а второй – три. Таким образом,

$$\frac{\frac{V_1}{2}}{n}=\frac{ V_2-\frac{V_1}{9}}{3n}$$

$$\frac{V_1}{2}+\frac{V_1}{27}=\frac{ V_2}{3}$$

$$\frac{27V_1+2V_1}{54}=\frac{18 V_2}{54}$$

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{18}{29}$$

Ответ: $\frac{V_1}{V_2}=\frac{18}{29}$.

Задача 2.

От двух сплавов массами 7 кг и 3 кг с разным процентным содержанием магния отрезали по куску одинаковой массы. Затем кусок, отрезанный от первого сплава, сплавили с остатком второго сплава, а кусок, отрезанный от второго сплава, сплавили с остатком первого сплава. Определить массу каждого из отрезанных кусков, если новые сплавы получились с одинаковым процентным содержанием магния.

Решение. Пусть содержание магния в первом сплаве $x$%, а во втором - $y$%. Тогда всего магния в первом сплаве $\frac{x}{100}\cdot 7$, о втором - $\frac{y}{100}\cdot 3$.

Отделяем массу $m$ от каждого сплава. В куске, отделенном от первого сплава, содержание магния $\frac{x}{100}\cdot m$, в куске, отделенном от второго сплава, масса магния $\frac{y}{100}\cdot m$.

Кусок, отделенный от первого сплава, сплавляют с остатком от второго: масса смеси 7 кг. Содержание магния - $\frac{x}{100}\cdot m+(3-m)\cdot \frac{y}{100}$.

Кусок, отделенный от второго сплава, сплавляют с остатком от первого: масса смеси 3 кг. Содержание магния - $\frac{y}{100}\cdot m+(7-m)\cdot \frac{x}{100}$.

Так как содержание магния одинаково в обоих сплавах, то можно записать, что

$$\frac{\frac{x}{100}\cdot m+(3-m)\cdot \frac{y}{100}}{3}=\frac{\frac{y}{100}\cdot m+(7-m)\cdot \frac{x}{100}}{7}$$

$$21x-3mx+3my=21y-7my+7mx$$

$$10my-21y=10mx-21x$$

$$21(x-y)=10m(x-y)$$

$$10m=21$$

$$m=2,1$$

Ответ: 2,1 кг.