Метод Пирсона в решении задач на сплавы и смеси

В этой статье я расскажу о методе Пирсона, применяемом для решения задач на растворы, сплавы и смеси.  Метод этот может сильно облегчить жизнь многим школьникам, однако применять его надо не бездумно. Поэтому давайте разберемся, как это работает.

Пусть требуется приготовить раствор определенной концентрации. В нашем распоряжении имеется два раствора: один с более высокой, чем требуемая, другой с  менее высокой концентрацией, чем нужно.

Если обозначить массу первого раствора через $m_1$,  а второго – через $m_2$, то при смешивании общая масса смеси будет складываться из суммы этих масс: $m_1+m_2$

Пусть массовая доля растворённого вещества в первом растворе –   $q_1$, во втором –  $q_2$, а в их смеси –  $q_3$.

При решении задач на сплавы-смеси  мы обычно составляем таблицу и пользуемся ею для получения уравнения или системы уравнений. Сделаем так и в этот раз:

Задача 4.

Тогда общая масса растворённого вещества в смеси будет складываться из масс растворённого  вещества в исходных растворах:

$$m_1 q_1+m_2 q_2=(m_1+m_2)q$$

Или

$$m_1(q_1-q)=m_2(q-q_2)$$

Далее находим отношение масс:

$$\frac{ m_1}{ m_2}=\frac{ q-q_2}{ q_1-q}$$

Очевидно, что отношение массы первого раствора к массе второго раствора есть отношение разности массовых долей растворённого  вещества в смеси и во втором растворе к разности соответствующих      величин в первом растворе и в смеси.

При решении задач на растворы с разными концентрациями чаще всего применяют диагональную схему правила смешения, или квадрат Пирсона.

При расчётах записывают одну над другой массовые доли растворённого вещества в исходных растворах, справа между ними – его массовую долю в растворе, который нужно приготовить, и вычитают по диагонали из большего меньшее значение.

Эти разности и показывают массовые доли для первого и второго растворов, необходимые для приготовления нужного раствора.

Задача 1.

В сосуд, содержащий 5 литров 12-процентного водного раствора некоторого вещества, добавили 7 литров воды. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Делаем такой рисунок: в первой строке концентрация первого раствора, а под ней – второго. Посередине,  между известными концентрациями растворов, расположим неизвестную нам концентрацию смеси, обозначив ее за $x$. Теперь проводим стрелки, как показано на рисунке, и на конце стрелочек записываем разности. При записи разностей правило простое: надо вычитать из большего меньшее. В конце каждой строчки впишем массу растворов 1 и 2.

Рисунок 1

Теперь обратимся к этой части рисунка. Чтобы составить пропорцию, надо провести черточки дробей и поставить знак равно, как показано рыжим цветом.

Рисунок 2

Решаем полученную пропорцию:

$$\frac{x}{12-x}=\frac{5}{7}$$

$$7x=5(12-x)$$

$$7x=60-5x$$

$$12x=60$$

$$x=5$$

Ответ: концентрация смеси равна $x=5$%.

Задача 2.

Смешали некоторое количество 15-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 19-процентного раствора этого вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?

Рисунок 3

Снова записываем концентрации растворов 1 и 2 друг под другом, затем правее посерединке неизвестную нам концентрацию смеси (пусть снова будет $x$), а дальше проводим стрелки и записываем разности концентраций, только не забываем: надо вычитать из большего меньшее. Концентрация смеси никак не может быть больше 19 %, и не может быть меньше 15 %. То есть $ x>15$ и $x<19$, следовательно, первая разность будет $19-x$, а вторая  - $x-15$ (вычли из большего меньшее).

Еще правее надо записать массы растворов. Они нам неизвестны, но одинаковы, поэтому просто обозначим их за $m$.  В правой части рисунка проводим дробные черты и ставим знак равно, как показано здесь:

Рисунок 4

Тогда полученная пропорция:

$$\frac{19-x}{15-x}=\frac{m}{m}=1$$

$$19-x=x-15$$

$$2x=19+15$$

$$2x=34$$

$$x=17$$

Ответ: концентрация смеси равна $x=17$%.

Задача 3.

Имеется два сплава. Первый содержит 10% никеля, второй  — 30% никеля. Из этих двух сплавов получили третий сплав массой 200 кг, содержащий 25% никеля. На сколько килограммов масса первого сплава меньше массы второго?

Проделываем все те же операции, и снова составляем пропорцию.

Рисунок 5

$$\frac{5}{15}=\frac{m_1}{m_2}$$

$$\frac{1}{3}=\frac{m_1}{m_2}$$

$$m_2=3m_1$$

Известно также, что $m_1+m_2=200$, поэтому

$$m_1+3m_1=200$$

$$4m_1=200$$

$$m_1=50$$

Тогда $m_2=150$ и масса первого меньше массы второго на 100 кг.

Ответ: 100 кг.

Рисунок 6

Задача 4.

Первый сплав содержит 10% меди, второй  — 40% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 3 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 30% меди. Найдите массу третьего сплава. Ответ дайте

Глядя на рисунок, составляем пропорцию. Причем сразу вместо $m_2$ давайте запишем $m_1+3$:

$$\frac{10}{20}=\frac{m_1}{m_1+3}$$

$$\frac{1}{2}=\frac{m_1}{m_1+3}$$

$$m_1+3=2m_1$$

$$m_1=3$$

$$m_2=6$$

Масса третьего сплава, очевидно, сумма первых двух: $m_3=m_1+m_2=9$.

Ответ: 9 кг.