Задачи по алгебре из ВК-группы Math-Досуг

Задача 1.

Задача 1

Решение: перемножим все три равенства:

$$a^2b^2c^2=200$$

Теперь извлечем корень:

$$abc=10\sqrt{2}$$

И последнее можно по очереди делить на каждое из данных нам равенств:

$$c=\frac{abc}{ab}=\frac{10\sqrt{2}}{4}=2,5\sqrt{2}$$

$$a=\frac{abc}{bc}=\frac{10\sqrt{2}}{5}=2\sqrt{2}$$

$$b=\frac{abc}{ac}=\frac{10\sqrt{2}}{10}=\sqrt{2}$$

Тогда

$$a^2+b^2+c^2=(2,5\sqrt{2})^2+(2\sqrt{2})^2+(\sqrt{2})^2=12,5+8+2=22,5$$

Ответ: 22,5

Задача 2.

Задача 2

Решение. Понятно, что в скобках может стоять 0 – тогда $x=1$, может быть 1 – тогда $x=2$, и, так как  степень нечетная, в скобках может быть $-1$ - тогда $x=0$.

Ответ: $\{0; 1; 2 \}$

Задача 3.

Задача 3

Решение.

$$a^5+a^4+1=a^3(a^2+a)+1$$

Так как $a^2+a+1=0$, то $a^2+a=-1$, подставляем:

$$a^3(-1)+1=1-a^3=(1-a)(1+a+a^2)=(1-a)\cdot 0=0$$

Ответ: 0.

Задача 4.

Задача 4

Решение. Сократим на $\sqrt{7}$ первое влагаемое, и на $\sqrt{3}$ - второе:

$$a=\frac{1}{\sqrt{11}+\sqrt{7}}+\frac{1}{\sqrt{7}+\sqrt{3}}$$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$$ a=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{(\sqrt{11}+\sqrt{7})(\sqrt{11}-\sqrt{7})}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{(\sqrt{7}+\sqrt{3})(\sqrt{7}-\sqrt{3})}$$

$$ a=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{7}}{4}+\frac{\sqrt{7}-\sqrt{3}}{4}=\frac{\sqrt{11}-\sqrt{3}}{4}$$

Возведем в квадрат:

$$a^2=\frac{11-2\sqrt{33}+3}{16}=\frac{14-2\sqrt{33}}{16}=\frac{7-\sqrt{33}}{8}$$

Еще раз возведем в квадрат:

$$a^4=\frac{49-14\sqrt{33}+33}{64}$$

$$4a^4=\frac{82-14\sqrt{33}}{16}=\frac{41-7\sqrt{33}}{8}$$

Найдем теперь обратную величину:

$$\frac{1}{4a^4}=\frac{8}{41-7\sqrt{33}}$$

Избавляемся от иррациональности:

$$\frac{1}{4a^4}=\frac{8(41+7\sqrt{33})}{(41-7\sqrt{33})(41+7\sqrt{33})}$$

$$\frac{1}{4a^4}=\frac{8(41+7\sqrt{33})}{41^2-49\cdot 33}=\frac{8(41+7\sqrt{33})}{64}=\frac{41+7\sqrt{33}}{8}$$

Окончательно:

$$4a^4+\frac{1}{4a^4}=\frac{41-7\sqrt{33}}{8}+\frac{41+7\sqrt{33}}{8}=\frac{41}{8}\cdot 2=\frac{41}{4}$$

Ответ: $4a^4+\frac{1}{4a^4}=\frac{41}{4}$