С1 ГИА по математике - работа с параметром

Порой в задачах С1 встречаются такие задания, для решения которых необходимо хорошо помнить, что такое квадратичная функция, как от коэффициентов квадратного уравнения зависит расположение параболы в координатных осях, сколько корней имеет квадратное уравнение в том или ином случае, помнить теорему Виета, знать, как составить квадратное уравнение по его корням и т.п.

Рассмотрим несколько заданий разных типов, например:

1. Один из корней данного уравнения равен 4, найдите второй корень и число а:

Уравнение приведенное, его коэффициенты можно определить по теореме Виета:

Подставляем известный корень:

Из первого уравнения , тогда 

Ответ:  

2. Один из корней данного уравнения равен 4, найдите второй корень и число а:

Воспользуемся теоремой Виета:

Подставляем известный корень:

Из второго уравнения , тогда 

Ответ:  

3. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны -5 и 8.

Приведенное квадратное уравнение записывается: 

Снова обратимся к теореме Виета.

Тогда:

Ответ:  

4. Составьте квадратное уравнение, корни которого равны: 9 и -4.

Решение аналогично:

Ответ:  

5.  Квадратное уравнение  имеет один корень, равный 1. Найдите коэффициент  и другой корень.

Здесь используем тот факт (вытекающий, кстати, тоже из теоремы Виета), что, если сумма коэффициентов квадратного уравнения равна 0, то один из корней равен 1, а другой c/a:

Уравнение:

В таком случае наш второй корень равен 3, а коэффициент  

Теперь решим эту же задачу "в лоб", пользуясь теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения:

Ответ:  

6. Квадратное уравнение  имеет один корень, равный (-1). Найдите коэффициент  и другой корень.

Здесь используем второй важный факт: если сумма коэффициентов квадратного уравнения a+c равна b, то один из корней равен (-1), а другой (-c/a):

Уравнение:

В этом случае наш второй корень равен   , а коэффициент  

Ответ:  

7. Один из корней квадратного уравнения  больше другого на 1. Найдите корни уравнения и коэффициент c.

Запишем уравнения для корней по теореме Виета:

Запишем уравнение по условию задачи:

Сделаем теперь замену и определим корни и искомый коэффициент:

Уравнение будет записано так:

Ответ:

8. Отношение корней квадратного уравнения  равно 3. Найдите корни уравнения и коэффициент b.

Запишем уравнения для корней по теореме Виета:

Запишем уравнение по условию задачи:

Тогда 

Делаем  замену и определяем корни и искомый коэффициент:

Значит,  

Так как произведение корней положительно, то имеем два набора подходящих нам корней и коэффициента b:

Ответ: 1. 

2.