С1 ГИА по математике - неравенства

Встречаются в заданиях C1 также и неравенства и их системы. Давайте вспомним метод интервалов и разберем некоторые приемы решения неравенств.

Начинаем с простых, таких, какие обычно в С1 не встретишь, но вспомнить основы никому не помешает, верно?

1. Решите неравенство:

Переносим неизвестное в левую часть, числа - в правую (или наоборот, кому как удобно):

Записываем ответ:  (]

Квадратная скобка показывает, что число 2 входит в ответ.

2. Решите неравенство:

Неравенство квадратное, воспользуемся методом интервалов. Но для этого надо определить точки перемены знака, поэтому сначала решаем квадратное уравнение:

Уравнение приведенное, корни отыскиваются по теореме Виета:

Изобразим эти точки на числовой оси. Это корни квадратного уравнения, значит, это точки, где парабола, построенная по этому уравнению, пересекает ось х. Ветви параболы направлены вверх (старший коэффициент положителен):

Точки закрашены, поскольку неравенство нестрогое и точки входят в ответ. Расставляем знаки: на самом правом интервале знак определяет старший коэффициент, он у нас положительный, значит, поставим "плюс", далее знаки меняются. В ответ включаем те интервалы, над которыми стоит "плюс":

Ответ:  (][)

3. Решите неравенство:

Здесь тоже на помощь придет метод интервалов, но потребуется числитель разложить на множители. Решим для этого уравнение:

Тогда запишем наше неравенство так:

Так как и в числителе, и в знаменателе - одно и то же число , то можем сократить этот множитель, эта операция никак не повлияет на знак неравенства:

Ответ: [)



4. Решите неравенство:

Раскладываем числитель на множители, пользуясь тем, что сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0:

Перепишем неравенство:

Чтобы решить такое неравенство методом интервалов, отмечаем на числовой оси как корни уравнения , так и корни уравнения . При этом первые закрашиваем или выкалываем в соответствии со знаком неравенства, а вторые всегда выкалываем, так как знаменатель не должен быть равен нулю:

У нас неравенство нестрогое, поэтому точки (-0.5) и 1 закрашены. Расставляем знаки промежутков знакопостоянства неравенства, начиная с самого правого. В числителе старший член с "плюсом", в знаменателе  - тоже с "плюсом", поэтому ставим "плюс" над самым правым промежутком, далее знаки будут меняться, как на рисунке.

В ответ включаем те промежутки, над которыми стоит знак "минус":

Ответ: ()

5. Решите неравенство:

Умножим оба слагаемых на 6 - так мы избавимся от знаменателей. Поскольку умножаем на положительное число, знак неравенства не изменится:

Раскрываем скобки и упрощаем:

Переносим 3 вправо:

Делим на коэффициент при х:

Ответ: ()

6. Решите неравенство:

Как известно, произведение больше ноля, если оба сомножителя либо одновременно больше ноля, либо меньше. В первой скобке неизвестное отсутствует, то есть в первой скобке заключено число. Наша задача  - понять, положительное оно или отрицательное. Можно догадаться, что . то есть разность этих двух чисел - положительна. Тогда и выражение во второй скобке больше нуля:

Осталось решить это простое неравенство:

Ответ:  ()

7. Решите неравенство:

Перенесем все в одну сторону:

Так как число   заведомо меньше ноля, значит, второй сомножитель положителен:

Решением этого квадратного неравенства будут два промежутка:

Ответ:  ()()

8. Решите систему неравенств:

Будем решать неравенства по одному. Первое умножим на 10, чтобы избавиться от знаменателя сразу в обоих слагаемых:

Раскроем скобки:

Решаем второе, раскрываем скобки справа:

Упрощаем:

Накладываем решения друг на друга:

 

Общее решение обоих неравенств и будет решением всей системы.

Ответ:  (]

9. Решим систему неравенств:

Решаем первое неравенство:

Избавляемся от знаменателя:

Решаем второе:

Решим квадратное уравнение, чтобы найти точки перемены знака неравенства:

Парабола обращена ветвями вверх, неравенство строгое, поэтому точки выкалываем. Тогда решение второго неравенства:

Накладываем решения неравенств:

 

Ответ:  (]