Алгебраические преобразования

Пусть $\sqrt{a}=t$, тогда

$$t^4+12t=5$$

А ищем мы $t^2+2t$.

$$t^4+12t-5=0$$

$$t^4+4t^2+4-4t^2+12t-9=0$$

$$(t^2+2)^2-(2t-3)^2=0$$

Раскроем как разность квадратов:

$$(t^2+2-2t+3)( t^2+2+2t-3)=0$$

$$(t^2-2t+5)( t^2+2t-1)=0$$

Либо

$$t^2-2t+5=0$$

Тут корней нет.

$$t^2+2t-1=0$$

То есть $t^2+2t=1$

Ответ: 1.

Приведем к общему знаменателю:

$$\frac{1}{a}-\frac{1}{b}-\frac{1}{a+b}=\frac{b(a+b)-a(a+b)-ab}{ab(a+b)}=\frac{b^2-ab-a^2}{ ab(a+b)}=0$$

Дробь равна нулю, если ее числитель равен нулю:

$$b^2-ab-a^2=0$$

$$D=a^2+4a^2=5a^2$$

$$b=\frac{a\pm a\sqrt{5}}{2}$$

Тогда

$$\frac{b}{a}=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$$

Если

$$\frac{b}{a}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$

То

$$\frac{a}{b}=\frac{2}{1+\sqrt{5}}=\frac{2(1-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{5})(1-\sqrt{5})}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$$

Ищем то, что просили:

$$\left(\frac{a}{b}\right)^3+\left(\frac{b}{a}\right)^3=\left(\frac{1+ \sqrt{5}}{2}\right)^3+\left(\frac{\sqrt{5}-1}{2}\right)^3=\frac{1+3\sqrt{5}+15+5\sqrt{5}}{8}+\frac{5\sqrt{5}-15+3\sqrt{5}-1}{8}=2+\sqrt{2}+\sqrt{2}-2=2\sqrt{2}$$

Ответ: $2\sqrt{2}$