Геометрические задачи на доказательство с окружностями

Все задачи взяты из книги "ОГЭ 2015. Математика. Типовые экзаменационные варианты. 36 вариантов. Под редакцией И.В. Ященко"

Задача 1. Продолжения равных хорд  и  окружности соответственно за точки В и С пересекаются в точке P. Докажите, что треугольник APD равнобедренный.

К задаче 1

Вспомним, что равные хорды всегда стягивают равные дуги. А равные дуги соответствуют равным центральным углам, и также равным вписанным углам, если они опираются на такие дуги. Рассмотрим углы ADB и DAC. Это как раз вписанные углы, которые опираются на равные дуги окружности AB и DC.

 Теперь рассмотрим углы BAC и BDC. Эти углы являются вписанными, и опираются на одну дугу - BC, и поэтому они также равны. Получили, что угол BAD равен углу ADC, так как они представляют собой суммы равных углов. А раз углы при основании треугольника APD равны, то он является равнобедренным, ч.т.д.

Задача 2. Из концов диаметра АВ окружности опущены перпендикуляры  и   на касательную. Докажите, что точка касания С является серединой отрезка .

К задаче 2

Так как и  перпендикулярны , то они параллельны. Проведем  - радиус окружности к точке касания. По теореме о касательной и радиусе, проведенном в точку касания, отрезок OC перпендикулярен , а, следовательно, параллелен  и . Имеем таким образом трапецию , а так как  - это радиусы, то - средняя линия данной трапеции, и, таким образом, , то есть точка С - середина , ч.т.д.

Задача 3. К двум окружностям с центрами в точках , , касающимся внешним образом в точке А, проведена общая касательная ВС, (В и С - точки касания). Докажите, что угол ВАС прямой.

К задаче 3

 Проведем радиусы  и . Эти радиусы проведены в точки касания, и поэтому перпендикулярны BC. Тогда углы  и  - прямые. Пусть угол  , а угол  . Тогда угол  , а угол  . Теперь рассмотрим треугольник ABC: сумма его углов равна  .

Найдем угол ВАС:  , или . Теперь рассмотрим треугольники    и . Они равнобедренные, так как образованы радиусами. Тогда углы при их основаниях равны. Угол   - развернутый, и равен  . Подставим в это равенство ранее полученное: , получим:  , или , тогда , и  , ч.т.д.

Задача 4. Докажите, что если две окружности имеют общую хорду, то прямая, проходящая через центры этих окружностей, перпендикулярна данной хорде.

К задаче 4

 Достроим радиусы окружностей   и рассмотрим треугольники    и  . Они равнобедренные, так как их боковые стороны - радиусы. Тогда фигура - ромбоид, а у ромбоида диагонали, как и у ромба, перпендикулярны.

Второй способ доказать: углы   и  , и соответственно, равны углы  . Тогда треугольники   и  равны по первому признаку (, ,

углы ). Получается, что отрезок  - биссектриса угла , а так как треугольник   равнобедренный, то и высота. Аналогично доказываем, что  - также высота.

Задача 5. На стороне равностороннего треугольника, как на диаметре, построена полуокружность. Докажите, что она делится на три равные части точками ее пересечения с двумя другими сторонами треугольника.

К задаче 5

 Отметим середину отрезка AC O,  - это центр нашей рыжей окружности. Центр окружности О соединим отрезками с точками D и E. Углы DAO и ECO равны по условию , и, так

как  ,   (радиусы), то треугольники DAO и ECO - равнобедренные, и, более того, равносторонние. Тогда угол DEO:  , а раз равны центральные углы, то равны и дуги окружности, им соответствующие, ч.т.д.

Задача 6. Докажите, что если около четырехугольника можно описать окружность, то сумма его противоположных углов равна 180 градусам.

К задаче 6

Рассмотрим угол ADC. Он вписанный, опирается на дугу ABC. Противоположный углу ADC угол четырехугольника - ABC - тоже вписанный, опирается на дугу ADC. Вместе обе дуги образуют целую окружность, или соответствуют центральному углу , тогда сумма вписанных углов вдвое меньше, то есть  , ч.т.д.

Задача 7. Окружности с центрами в точках I и J не имеют общих точек. Внутренняя общая касательная к этим окружностям делит отрезок, соединяющий их центры, в отношении . Докажите, что диаметры этих окружностей относятся как .

Проведем радиусы в точки касания: IK и CJ. Эти радиусы перпендикулярны касательной и треугольники IKO и CJO прямоугольные. Кроме того, углы KOI и JOC равны как вертикальные и, таким образом, треугольники подобны по двум углам. Тогда, если их гипотенузы относятся как , то и катеты будут относиться в такой же пропорции:  , ч.т.д.

К задаче 7

К задаче 7