Разделы сайта

Категория:

Функции ...

Задания 23 (С3) ОГЭ 2015 на построение графиков функций.

22.03.2015 13:13:14 | Автор: Анна

Здравствуйте, друзья! Я недавно приобрела новую книжечку для подготовки к ОГЭ (страшно люблю книжки покупать), и там попались мне на глаза задания С3, которые показались интересными для разбора. Поэтому сегодня я предлагаю их вашему вниманию. Задачи на построение сложных графиков функций вы найдете также в статье "С3 ГИА - построение графиков функций"

Пример 1. Задача из пособия "Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В." Вариант 6, задача 23.

Постройте график функции $y=(sqrt{4-x})^2/{x+2}$ . Найдите все значения а, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек.

Сначала займемся областью определения данной функции: x<>-2 , так как на ноль делить нельзя, и 4-x>=0 , то есть x<=4 ,так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

$y=(sqrt{4-x})^2/{x+2}={4-x}/{x+2}$

Выделим целую часть:

y={4-x}/{x+2}=-{x-4}/{x+2}=-{x+2-6}/{x+2}=-(1-6/{x+2})=-1+6/{x+2}

Теперь картина стала совсем ясной: имеем обычную гиперболу с коэффициентом 6 y=6/x , которую сместили влево на 2 единицы y=6/{x+2} , а потом сместили на одну единицу вниз: y=6/{x+2}-1 . Причем существует эта наша гипербола, согласно области определения, только до точки 4, а в точке (-2) имеет вертикальную асимптоту. Строим:

К задаче 1

Видно, что прямая y=-1 не будет иметь с графиком общих точек, так как является горизонтальной асимптотой. Также все прямые, лежащие выше нее, до прямой y=0 , также не будут иметь общих точек с данной функцией, а сама прямая y=0 - будет уже иметь точку пересечения с гиперболой, так как неравенство области определения - нестрогое.

Ответ: a in[-1;0 )

Пример 2. Задача из пособия "Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В." Вариант 7, задача 23.

Постройте график функции $y=(sqrt{x^2-4})^2/{x-2}$ . Найдите все значения а, при которых прямая y=a не имеет с графиком данной функции общих точек.

Область определения данной функции: x<>2 , так как на ноль делить нельзя, и x^2-4>=0 , то есть x in ( -infty; -2] union (2; infty) ,так как подкоренное выражение неотрицательно.

Теперь можно преобразовать выражение, попробовать его упростить. Получим:

$y=(sqrt{x^2-4})^2/{x-2}={x^2-4}/{x+2}={(x-2)(x+2)}/{x+2}=x-2$

Имеем прямую, параллельную биссектрисе 1 и 3 квадрантов, смещенную вниз по оси ординат на 2 единицы, и не существующую на отрезке (-2; 2]. Строим:

К задаче 2

По графику видно, что любая прямая, параллельная оси х и проходящая через точки оси y с координатами (0;4] не будет иметь общих точек с графиком функции.

Ответ: a in ( 0;4] .

Пример 3. Задача из пособия "Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В." Вариант 18, задача 23.

Постройте график функции y=delim{|}{x}{|}/x . Найдите все значения p, при которых прямая y=x+p имеет с графиком данной функции 2 общие точки.

Кстати, здесь можно найти статью о том, как строить графики функций с модулями.

Область определения x<>0

Раскрываем модуль. В положительной полуплоскости (правой) delim{|}{x}{|}=x , в отрицательной полуплоскости (левой) delim{|}{x}{|}=-x . Тогда в правой полуплоскости имеем y=1 , в левой полуплоскости y=-1 .

Функция y=x+p представляет собой прямую y=x , которую можно двигать вверх-вниз на p единиц. Построим график заданной функции и подвигаем по нему прямую y=x+p :

К задаче 3

Видим, что между двумя крайними положениями прямой y=x+p , показанными синим цветом, то есть при p=1 и p=-1 , когда имеем только одну общую точку, располагаются прямые, имеющие с графиком функции две общие точки. Тогда две общие точки будем иметь при p in (-1;1) .

Ответ: p in (-1;1) .

Пример 4. Задача из пособия "Математика. ОГЭ 2015. 20 типовых вариантов. Рослова Л.О., Кузнецова Л.В., Шестаков А.С., Ященко И.В." Контрольный вариант, задача 23.

Постройте график функции $y={x^4-13x^2+36}/{(x-3)(x+2)}$ . Найдите все значения а, при которых прямая y=c имеет с графиком данной функции ровно одну общую точку.

Область определения данной функции - вся числовая ось, кроме точек (-2) и (3), так как в этих точках знаменатель обращается в ноль.

Теперь упростим выражение, задающее график функции:

$y={x^4-13x^2+36}/{(x-3)(x+2)}$

Разложим числитель на множители: $y={z^2-13z+36}$ , где z=x^2 .

D=b^2-4ac=13^2-4*36=25 , $z_{1,2}={-b pm sqrt{D}}/{2a}={13 pm 5}/2$ .

z_1=9 .

z_2=4 .

Имеем: $y={(x^2-9)(x^2-4)}/{(x-3)(x+2)}=(x+3)(x-2)$

Получили параболу. Точки пересечения с осью x - (-3) и (2) - это корни уравнения (x+3)(x-2)=0 . Вершина параболы: y=(x+3)(x-2)=x^2+x-6 в точке (-0.5; -6.25). Не забудем о двух выколотых точках! Строим:

К задаче 4

Таким образом, если прямая y=c пройдет через эти выколотые точки, то она неминуемо пересечет только одну ветвь параболы. Тогда необходимо определить ординаты выколотых точек, для этого подставим их абсциссы в уравнение, задающее функцию. Получим две точки: (-2; -4) и (3; 6).

Однако надо учесть еще и то, что парабола всегда "растет" быстрее прямой, поэтому, если прямая пройдет через вершину параболы и через начало координат, то она уже не будет пересекаться с параболой вверху, просто "не догонит". Поэтому еще один вариант ответа - c=-6,25 .

Ответ: с=-4 и с=6.

Ну и напоследок, как всегда, самое вкусное! Задачу принес ученик, она попалась ему на пробном ОГЭ 13 марта.

Пример 5. Постройте график функции y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x) и определите по графику, сколько общих точек будет иметь график этой функции с прямой y=c при различных значениях параметра с.

Трудно себе представить вот так, сразу, без подготовки, что называется, "на вскидку", как будет выглядеть график этой функции. Но мы видим модуль - это часто делает функцию кусочной. То есть на одном интервале она задается одним выражением, а на другом интервале - другим. Поэтому прежде всего нужно определить, в каких точках подмодульное выражение меняет знак. Для этого приведем оба слагаемых подмодульного выражения к одному знаменателю: $x/2-2/x={x^2-4}/{2x}$ . Теперь приравняем к нулю числитель и знаменатель полученного выражения:

x^2-4=0 , x=pm 2

2x=0 , x=0

Нарисуем строго друг под другом числовые прямые и покажем на них динамику смены знака числителем и знаменателем, тогда можно будет определить, где и как меняет знак все подмодульное выражение.

Раскрываем модуль

На луче ( -infty;-2] раскроем модуль с отрицательным знаком, на интервале (-2;0) - с положительным, на полуинтервале (0;2] вновь с отрицательным, и, наконец, на луче (2;infty) - также с положительным. Тогда:

На первом и третьем: y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x)=1/2(-x/2+2/x+x/2+2/x)=2/x

На втором и четвертом: y=1/2(delim{|}{x/2-2/x}{|}+x/2+2/x)=1/2(x/2-2/x+x/2+2/x)=x/2

Строим функцию по интервалам:

К задаче 5

Тогда становится видно, что при с=-1 и с=1 имеем одну точку пересечения, при c in (-1;0) и c in (1;infty) - два, а при c in ({-infty};{-1}) union [0;1 ) - ни одного.