С3 ГИА - построение графиков функций.

Для того, чтобы хорошо решать это задание, нужно быть знакомым с построением различных графиков функций, в том числе содержащих модуль. Предлагаю тем, кто неуверенно себя чувствует при решении таких заданий, перейти по ссылкам и изучить (или повторить) данные разделы. Задание С3 связано как с исследованием расположения корней квадратного трехчлена, так и с определением области определения функции, и области ее значений. На конкретных примерах мы попробуем научиться решать различные типы таких заданий.

Задача 1. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком 1 общую точку. Построить все такие прямые.

Задача о касательных к параболе

Графиком предложенной функции является парабола, ветви которой направлены вверх и вершина, которую подняли вверх на 4 единицы, лежит на оси ординат. Ее координаты (0;4). Второй график - это прямая, проходящая через начало координат, причем ее наклон может меняться (его определяет коэффициент ). Такая прямая только в одном случае имеет с параболой одну общую точку - если является касательной. Причем, поскольку данная парабола симметрична относительно оси ординат, то к ней можно провести две касательных - с точками касания в первом и третьем квадрантах: Чтобы определить, в какой точке прямая коснется параболы, нужно приравнять обе функции:

Поскольку точка касания - единственная общая точка данных графиков, то дискриминант данного уравнения равен нулю: Откуда и . Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: и решить это уравнение: Тогда касание произойдет в точке   и симметричной ей точке .

Задача 2. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком три или более общие точки.

График, который подвергнется преобразованиям

Преобразованный график

Строить этот график будем поэтапно: сначала построим график , затем - график функции , и, наконец, искомый - : Парабола с ветвями, направленными вверх, стандартной формы, координаты вершины (2;-1) Теперь построим график . Поскольку модуль берется от всего выражения, то, чтобы получить этот график, нужно отразить вверх симметрично относительно оси х все точки, имеющие отрицательную ординату. И, наконец, поставив минус, мы "перевернем" весь график вверх тормашками:

"Опрокидываем" преобразованный график

Осталось выяснить, в каком же случае прямая   - а это прямая, параллельная оси абсцисс -  будет иметь три (или же более) общие точки с графиком построенной нами функции. Прямая показана на рисунке зеленым цветом. Видно, что ниже указанного положения прямая будет иметь только две общие точки с графиком. Если , то прямая имеет три точки с графиком - пересекает две его ветви и касается вершины. Выше прямая будет иметь четыре точки пересечения с графиком, однако при  точек пересечения уже снова две. Значит, ответ надо записать так: [-1;0)

Задача 3. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним три и более общие точки.

Исходный график

Окончательный вид

Также построим график в два этапа: саму параболу (координаты ее вершины (-1;-9)), затем отразим всю часть, лежащую ниже оси х, вверх:   Тогда три и более (а именно - четыре) общих точки графики  и   будут иметь при (0;9]

Задача 4. Построить график функции  и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним 2 общие точки.

Из условия ясно, что такой график состоит из двух кусочков. Один из них - прямая, второй - парабола. Первый существует в точке 1 и левее ее, второй - правее этой точки. Нарисуем эти графики:

Кусочная функция

Координаты вершины параболы:  ;  

Красным показаны прямые   и   - именно они, и только они, имеют две общие точки с построенным графиком. Ответ:  ,  .

 Задача 5. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  не имеет с графиком общих точек.

Давайте сначала попробуем упростить данное выражение, кроме того, нужно, безусловно, определить область допустимых значений данной функции. ОДЗ: . Теперь попробуем упростить данное выражение:

Определение коэффициента наклона касательной

Полученная функция - квадратичная, ее графиком является парабола. Данная парабола симметрична относительно оси y, ее вершина имеет координаты (0; 25). Необходимо заметить, что точка с координатами (1; 26) - выколотая точка (по ОДЗ). Тогда прямая, проходящая через начало координат - а именно таким будет график функции  , не будет иметь с параболой общих точек в трех случаях: если коэффициент  меньше, чем у касательной, расположенной справа, или он больше, чем у касательной, расположенной слева, или искомая прямая проходит прямо через выколотую точку. Наверное, проще найти каков этот коэффициент именно в третьем случае: так как прямая проходит через начало координат, достаточно подставить координаты нашей выколотой точки в уравнение прямой и найти : , откуда . Проверим, не будет ли такая прямая иметь общих точек с параболой. Приравняем . По сумме коэффициентов это уравнение имеет корень 1, но и второй корень - 25, поэтому такая прямая будет иметь еще одну точку пересечения с параболой. В ответ эту прямую мы не включим. Теперь определим коэффициент наклона касательных, для этого приравняем оба уравнения:  , и найдем дискриминант, который должен быть равен нулю при наличии единственной общей точки у двух этих графиков функций: Откуда и Абсциссу точки касания можно найти, если приравнять два уравнения, подставив найденный коэффициент в уравнение прямой: и решить это уравнение: Тогда касание произойдет в точке   и симметричной ей точке . Ответ: ,  .

Задача 6. Построить график функции  и определить, при каких значениях он не имеет общих точек с  графиком функции .

Гипербола с выколотой точкой

Определим ОДЗ функции: ,  . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение:   - видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка  - выколотая точка. В точке  гипербола не существует, оси координат - ее асимптоты (одна из них войдет в ответ). Тогда, если прямая   пройдет через выколотую точку, графики не будут иметь общих точек. Найдем : для этого определим ординату выколотой точки:  : Ответ:   и .

Задача 7. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с графиком 1 общую точку.

Подбор коэффициента наклона прямой

Определим ОДЗ функции: ,  . (Для того, чтобы определить ОДЗ, приравняли знаменатель к нулю и решили данное уравнение). Теперь упростим выражение:   - видим, что графиком будет обычная гипербола, однако точка  - выколота. В точке  гипербола не существует, оси координат - ее асимптоты. Тогда, если прямая   пройдет через выколотую точку, графики  будут иметь одну общую точку. Найдем : для этого подставим в уравнение прямой абсциссу и  ординату выколотой точки:  ,  : Ответ: 

Задача 8. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним 2 общие точки.

Построение функции с модулем

Эта функция - функция типа , и чтобы построить график данной функции, необходимо отразить всю часть графика, расположенную справа от оси х, налево: Тогда, если , то график  коснется обеих вершинок нашей "дублированной" параболы, то есть  - один из ответов. Также, если  , то   пересечет обе ветви параболы, то есть все  нас устраивают. Ответ: ,.

Задача 9. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  не имеет с ним общих точек.

Кубическая парабола с выколотой точкой

Определим ОДЗ исходной функции: . Теперь можно упростить выражение: .

График представлен на рисунке. Не забудем про выколотую точку - это точка с координатами (2;4). Поэтому, если прямая  пройдет именно через эту точку, она не  будет иметь  общих точек с полученным нами графиком. Ответ: с=4.

Задача 10. Построить график функции и определить, при каких значениях  график функции  имеет с ним одну общую точку.

Для того, чтобы построить данный график, необходимо раскрыть модули. С этой целью приравняем подмодульное выражение к нулю, чтобы узнать, в какой точке оно меняет знак: и Нанесем эти точки на числовую прямую и расставим знаки:

У нас получились три интервала, на каждом из которых можно теперь раскрыть модули: 1. 2. 3. Тогда наша функция - кусочно-линейная: .

Она выглядит так:

Кусочно-линейная функция

Зеленым цветом показано одно из возможных положений прямой  . При таком расположении прямой , и может расти бесконечно. Заметим, что крайнее положение прямой - при k=1. При таком коэффициенте наклона она параллельна правой и левой частям графика, и имеет с ним одну точку пересечения - точку (0;0). Точно так же коэффициент наклона может быть и отрицательным. При этом коэффициент k=-1 - не войдет в ответ, так как в этом случае функция  будет иметь общий отрезок с кусочно-линейной функцией, что не соответствует требованиям задачи. Таким образом,

Ответ: ).

Задача 11. При каких вершины парабол  и расположены по одну сторону от оси х?

Обратим внимание на то, что у двух данных парабол ветви направлены в разные стороны: у первой старший коэффициент отрицателен, а у второй - положителен. Поэтому вершины будут лежать по одну сторону от оси, если одна из них будет иметь точки пересечения с осью х, а другая - нет. Иными словами, дискриминант одного квадратного уравнения должен быть положителен, а другого - отрицателен. Это приводит нас к двум системам неравенств:

Дискриминант и наличие пересечений параболы с осью х

.

Или же наоборот: . Эти два случая изображены на рисунке:

Определим дискриминанты обоих квадратных уравнений:

Тогда имеем систему неравенств:

- решений нет, так как квадрат числа - неотрицателен, и сумма квадрата числа с положительным числом не может быть меньше ноля.

- в этой системе второе неравенство всегда соблюдается, решение первого - , , 

Мы рассмотрели один способ решения - с использованием дискриминанта. Есть еще один способ решения такого задания - с помощью координат вершины параболы. Решим последнюю задачу вторым способом.

Нам потребуется определить координаты вершин обеих парабол:

1. 

2. 

Ординаты вершин должны иметь один знак по условию, тогда имеем систему неравенств:

- вторая система решений не имеет, а именно, нет решений у второго неравенства, поэтому решим первую. Второе неравенство первой системы справедливо всегда, осталось решить неравенство:

Решение этого неравенства и есть ответ задачи: 

До встречи в новых постах, удачи на экзаменах!