Чётность и нечётность функций

Привет всем посетителям! Сегодня рассматриваем вопрос четности и нечетности функций.

Правило:

Если , то функция четная.

Если , то функция нечетная.

При этом важно, чтобы область определения функции была бы симметричной относительно оси ординат, а при наличии в ней выколотых точек или интервалов они также должны располагаться симметрично.

Алгоритм исследования:

Установить, симметрична ли область определения функции. Если это так, то  найти и сравнить с

Если то функция — четная.
Если , то функция нечетная.

Функция совсем не обязана быть четной или нечетной, она может быть «никакой», несмотря на то, что область определения симметрична.

 

Примеры:

1. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции – все действительные числа, то есть она симметрична. Теперь подставим вместо x – (-x) и посмотрим, что получится:

– функция четна.

Надо отметить, что график четной функции симметричен относительно оси ординат, она для него словно зеркало. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а в левую просто отражать.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно оси ординат, то она четная.

 

2. Определить, является ли четной функция: .

Область определения этой функции может быть найдена из системы неравенств:

Оба неравенства всегда соблюдаются, так как дискриминант обоих трехчленов всегда меньше 0, и ветви парабол направлены вверх – таким образом, мы установили, что область определения симметрична – это вся числовая ось.
Теперь подставим вместо x – (-x): – данная функция нечетна.

График нечетной функции симметричен относительно начала координат, то есть каждой его точке соответствует точка, получить которую можно поворотом на 180 градусов относительно начала координат. Поэтому графики таких функций можно строить в правой полуплоскости, а изображение в левой полуплоскости получить, повернув картинку на 180 градусов.

Верно и следующее:  если функция задана графиком, который симметричен относительно начала координат, то она нечетная.

 

3. Определить, является ли четной функция: .

Область определения может быть найдена из системы неравенств:

Таким образом, область определения симметрична,  и не содержит выколотые точки (1) и (-1).

Подставляем (-х) вместо х:

- исходную функцию не получили, а получили совсем другую - значит, исходная функция не является ни четной, ни нечетной (что и подтверждает график). Мы убедились, что симметрия области определения еще не означает, что функция четная или же нечетная.

 

4. Определить, является ли четной функция: .

 

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетна.

5. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме точек 3 и (-3) – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

 

6. Определить, является ли четной функция: .

 

Область определения – вся числовая ось – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция четная.

 

7. Определить, является ли четной функция: .

Область определения – вся числовая ось, кроме 0 – симметричная.

Подставляем (-х) вместо х:

– функция нечетная.

Кроме того, здесь мы имеем дело с суммой двух функций.

Правило:

Сумма двух нечётных функций  -  нечётна.

Сумма двух чётных функций  -  чётна.

А вот сумма двух функций разной четности – как правило, ни четна, ни нечетна.

Определим четность этих функций по отдельности.

– функция нечетная.

– функция нечетная.

 

8. Исследуем теперь такую функцию:

 

Одна из них нечётна – это мы только что показали, а вторая?

Область определения функции симметрична, функция нечётна, так как . Тогда по правилу сложение двух нечетных функций даст функцию нечетную.

 

9. Наконец, последняя:

– имеем произведение двух функций.

Правило:

Произведение или частное  двух нечётных функций чётно.

Произведение или частное двух чётных функций чётно.

Произведение или частное нечётной и чётной функций нечётно.

 

Так как обе функции являются чётными, то и их произведение чётно.

Проверим?

Область определения – вся числовая ось. Производим подстановку:

- функция четная.