Учимся решать квадратные уравнения - 2

Сегодня учимся решать квадратные уравнения! Да-да, пусть вы умеете считать $D_1$, и решаете уравнения по коэффициентам, и переброску можете, и Виета! Про дискриминант что говорить – это умеют даже те, кто больше ничего не умеет. Но и этого может быть мало!!! (Всему вышеперечисленному можно научится в предыдущей статье – «Учимся решать квадратные уравнения – 1»)

Если вам предстоит профильный ЕГЭ по математике, то навыки быстрого счета вам очень нужны. Это экономит время, это сводит вероятность ошибки к минимуму, это мастхэв!

Поэтому сегодня обратимся к уравнениям с большими коэффициентами. А именно, будем учиться не утыкаться лбом, а ловко и грациозно обходить четырехзначные и пятизначные дискриминанты!

Уравнения с дикими коэффициентами встречаются иногда в экономической (редко) задаче, а чаще в текстовых задачах на движение. И бывало, дети бросали решение задачи из-за временных затрат на счет! Но только не мои ученики. Своих я учу, а теперь и вы можете научиться всем необходимым приемам. Поехали!

Первый прием – вынесение общего множителя при подсчете дискриминанта.

Пример 1.

$$x^2-85x+1156=0$$

Вычисляем дискриминант, так как ни Виет, ни коэффициенты, на $D_1$ не выручат нас здесь.

$$D=85^2-4\cdot 1156=(17\cdot 5)^2-4\cdot 4\cdot 289=17^2\cdot (25-16)=17^2\cdot 9=(5\cdot 3)^2=15^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{85 \pm 15}{2}$$

$$x_1=50$$

$$x_2=35$$

 

Пример 2.

$$x^2-133x+2166=0$$

$$D=133^2-4\cdot 2166=(19\cdot 7)^2-4\cdot 2\cdot 1083$$

Замечаем, что число 1083 делится на 3 по признаку делимости, тогда

$$D= (19\cdot 7)^2-4\cdot 2\cdot 3\cdot 361=19^2(7^2-4\cdot 6)=19^2\cdot 25=(19\cdot 5)^2=95^2$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{133 \pm 95}{2}$$

$$x_1=114$$

$$x_2=19$$

 

Пример 3.

$$x^2-35x-375=0$$

$$D=35^2+4\cdot 375\cdot 2=(5\cdot 7)^2+4\cdot 25\cdot 15\cdot 2$$

Выносим за скобку 25, тогда

$$D= 25(7^2+8\cdot 15)=25\cdot (49+120)=(5\cdot 13)^2=65^2$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{35 \pm 65}{2}$$

$$x_1=50$$

$$x_2=-15$$

 

Пример 4.

$$7x^2+1800x-90000=0$$

$$D_1=900^2+90000\cdot 7=900(900+700)=30^2\cdot 40^2$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{-900 \pm 1200}{7}$$

$$x_1=\frac{300}{7}$$

$$x_2=-300$$

 

Пример 5.

$$x^2+390x-27000=0$$

$$D=(13\cdot 30)^2+4\cdot 30\cdot 900=900(13^2+120)=30^2\cdot 289=(30\cdot 17)^2$$

Корни:

$$x_{1,2}=\frac{-390 \pm 510}{2}$$

$$x_1=60$$

$$x_2=-450$$

 

Второй прием: если получилась разность квадратов при подсчете дискриминанта.

Пример 1.

$$x^2-73x+576=0$$

Вычисляем дискриминант, так как ни Виет, ни коэффициенты, на $D_1$ не выручат нас здесь.

$$D=73^2-4\cdot 576=73^2-2^2\cdot 24^2=73^2-48^2=(73-48)(73+48)=25\cdot 121=(5\cdot 11)^2=55^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{73 \pm 55}{2}$$

$$x_1=64$$

$$x_2=9$$

Пример 2.

$$x^2-109x+900=0$$

Вычисляем дискриминант, так как ни Виет, ни коэффициенты, на $D_1$ не выручат нас здесь.

$$D=109^2-4\cdot 900=109^2-2^2\cdot 30^2=109^2-60^2=(109-60)(109+60)=49\cdot 169=(7\cdot 13)^2=91^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{109 \pm 91}{2}$$

$$x_1=100$$

$$x_2=9$$

Ну, тут и Виет спас бы. Еще пример:

Пример 3.

$$x^2-116x+1600=0$$

Вычисляем дискриминант, так как коэффициенты не работают. Виет дает результат сразу. Второй коэффициент – четный, можно попробовать и $D_1$ посчитать, тем не менее, мне кажется, так проще (но по Виету – самый простой способ здесь):

$$D=116^2-4\cdot 1600=116^2-2^2\cdot 40^2=116^2-80^2=(116-80)(116+80)=36\cdot 196=(6\cdot 14)^2=84^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{116 \pm 84}{2}$$

$$x_1=16$$

$$x_2=100$$

Пример 4.

$$x^2-173x+676=0$$

Вычисляем дискриминант, так как коэффициенты не работают. Виет на первый взгляд сложен. Второй коэффициент – нечетный, $D_1$ не подойдет:

$$D=173^2-4\cdot 676=173^2-2^2\cdot 26^2=173^2-52^2=(173-52)(173+52)=121\cdot 225=(11\cdot 15)^2=165^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{173 \pm 165}{2}$$

$$x_1=4$$

$$x_2=169$$

 

Пример 5.

$$x^2-53x+196=0$$

Вычисляем дискриминант, так как коэффициенты не работают. Виет на первый взгляд сложен. Второй коэффициент – нечетный, $D_1$ не подойдет:

$$D=53^2-4\cdot 196=53^2-2^2\cdot 14^2=53^2-28^2=(53-28)(53+28)=25\cdot 81=(5\cdot 9)^2=45^2$$

Корни

$$x_{1,2}=\frac{53 \pm 45}{2}$$

$$x_1=49$$

$$x_2=4$$

А вы тоже заметили, что у таких уравнений и сами корни – квадраты? Интересно, правда? Для тренировок в этом разделе можно использовать уравнения:

$$x^2-85x+324=0$$

$$x^2-104x+400=0$$

$$x^2-125x+2500=0$$

$$x^2-153x+1296=0$$

А если получился дискриминант вида 11025, 3025, 4225, 7225, 5625? У этих чисел общее – не только то, что они оканчиваются на 25. Но и то, что число, стоящее перед числом десятков и единиц – обязательно произведение двух последовательных натуральных чисел ($110=10\cdot 11, 30=5\cdot 6,  42=6\cdot 7, 72=8\cdot 9, 56=7\cdot 8$). Это, оказывается, квадраты чисел, оканчивающихся на 5. Например, $25^2=2\cdot (2+1)$ и приписываем 25 – получаем 625. $55^2=5\cdot (5+1)$ и приписываем 25 – получаем 3025. $5625$  - это $7\cdot8$ и приписано 25 – значит, в квадрат возводили 75: $5625=75^2$. $7225$  - это $8\cdot9$ и приписано 25 – значит, в квадрат возводили 85: $7225=85^2$. Попробуйте сами извлечь таким образом корень из чисел $1225, 2025, 4225, 9025, 11025$.

Примеры уравнений с такими дискриминантами

$$x^2-5x-750=0$$

$$3x^2+112x-363=0$$

$$x^2+60x-2125=0$$

$$x^2-30x-1000=0$$

В последних удобнее $D_1$.

Ну и остался последний способ выйти из положения – это извлечь корень в столбик. Рассмотрим и такие примеры.

$$x^2+12x-12960=0$$

Так как второй коэффициент – четный, определяем $D_1$:

$$D_1=36+12960=12996$$

Легче, скажем, не стало. Придется найти корень в столбик: разбиваем число 12996 на пары цифр с конца: 1,29,96. К первой паре (или одной цифре, как у нас – 1) подбираем ближайший меньший или равный полный квадрат – тоже 1. Значит, первая цифра результата у нас 1: $\sqrt{1}=1$.  Этот подобранный квадрат пишем под первым числом (парой чисел). Вычитаем.

Сносим следующую пару. Текущий результат умножаем на два ($1\cdot 2=2$) – это число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 29:

Конечно, это 1. Записываем эту подобранную цифирь в результат.

Произведение $21\cdot 1=21$ пишем под 29 и производим вычитание. Сносим следующую пару.

Текущий результат умножаем на два ($11\cdot 2=22$) – это число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 896:

Подбираем неизвестное число – это 4. Это – последняя цифра результата, так как $224\cdot 4=896$, при вычитании получим ноль.

Готово: $12996=114^2$.

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{-6 \pm 114}{2}$$

$$x_1=54$$

$$x_2=-60$$

Попробуем решить еще одно:

$$x^2-91x+2028=0$$

$$D=91^2-4\cdot 2028=8281-8112=169$$

Неожиданно красивый дискриминант при страшненьких коэффициентах!

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{91 \pm 13}{2}$$

$$x_1=52$$

$$x_2=39$$

Третий пример:

$$2x^2-31x-475=0$$

$$D=31^2+4\cdot 2\cdot 475=961+3800=4761$$

Попробуем извлечь корень в столбик: разбиваем число 4761 на пары цифр с конца: 47,61. К первой паре (47) подбираем ближайший меньший или равный полный квадрат – это 36. Значит, первая цифра результата у нас 6: $\sqrt{36}=6$.  Этот подобранный квадрат пишем под первой парой чисел. Вычитаем.

Сносим следующую пару. Текущий результат умножаем на два ($6\cdot 2=12$) – это число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 1161:

Конечно, это 9. Записываем эту подобранную цифру в результат.

Готово: $4761=69^2$.

Корни уравнения:

$$x_{1,2}=\frac{31 \pm 69}{4}$$

$$x_1=25$$

$$x_2=-9,5$$

Иногда умение извлекать корни пригождается и при расстановке точек, полученных при решении неравенства, или, например, при выполнении пункта б) в уравнении (отбор корней), особенно, если промежуток выглядит как-то так: $(\sqrt{7}-2; \sqrt{7}+2)$. Попробуем извлечь корень, например, из 7.

Для этого добавляем к 7 столько пар нулей, сколько цифр после запятой нам было бы желательно получить. Три пары – получим тысячные, две – сотые. Далее действуем по прежнему алгоритму: к первой паре или первой цифре (7) подбираем ближайший меньший или равный полный квадрат – это 4. Значит, первая цифра результата у нас 2: $\sqrt{4}=2$.  Этот подобранный квадрат пишем под семеркой. Вычитаем.

Сносим следующую пару. Текущий результат умножаем на два ($2\cdot 2=4$) – это число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 300:

Это 6, так как $46\cdot 6=276$. Записываем эту подобранную цифру в результат.

Произведение $46\cdot 6=276$ пишем под 300 и производим вычитание. Сносим следующую пару.

Текущий результат умножаем на два ($26\cdot 2=52$) – это число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 2400:

Подбираем неизвестное число – это 4. Вписываем в результат. Произведение $524\cdot 4=2096$ пишем под 2400 и производим вычитание. Сносим следующую пару.

Возвращаемся к работе с результатом. Снова умножаем на 2: $264\cdot 2=528$. Это - число десятков некоторого служебного числа. Число единиц пока неизвестно. Но умножить это служебное число надо на такое же, каково число единиц в нем, подобрав его таким образом, чтобы произведение оказалось меньше или равно 30400.

Подбираем неизвестное число – это 5. Вписываем в результат. Произведение $5285\cdot 5=26425$ пишем под 30400 и производим вычитание. А вот сносить больше нечего, кончились наши пары нулей.

Осталось отделить запятой столько цифр результата, сколько пар нулей мы добавляли – то есть 3. И окончательно $\sqrt{7}=2,645$.

Надеюсь, эта статья научила вас чему-то полезному.