Вычисления и преобразования (7)

Сегодня учимся решать квадратные уравнения! Да-да, пусть вы умеете считать $D_1$, и решаете уравнения по коэффициентам, и переброску можете, и Виета! Про дискриминант что говорить – это умеют даже те, кто больше ничего не умеет. Но и этого может быть мало!!! (Всему вышеперечисленному можно научится...

Сегодня будем учиться решать квадратные уравнения быстро и эффективно, без ошибок и временных затрат.  Изучим 4 способа быстро решить самое неприятное уравнение, в том числе с большими коэффициентами. Дискриминант у меня – последнее средство, когда уже «против лома нет приема». До применения дискриминанта я 1) проверю...

Несколько задач на вычисление. Хитрые задачи! Вторая - вполне достойна ДВИ. Задача 1. Вычислить $$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}$$ Решение. $$\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}=\frac{\cos 20^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}\cdot 2\sin 20^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 40^{\circ}\cdot \cos 40^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{2\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 80^{\circ}\cdot \cos 80^{\circ}}{4\sin 20^{\circ}}=\frac{\sin 160^{\circ}}{8\sin 20^{\circ}}=0,125$$ Ответ: 0,125.

Две задачи на упрощение выражений, подходят для подготовки к решению задачи 9 профильного ЕГЭ. Задача 1. Найти значение выражения: $$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}$$ Решение: $$\sqrt[3]{45+29\sqrt{2}}+\sqrt[3]{45-29\sqrt{2}}=\sqrt[3]{27+27\sqrt{2}+18+2\sqrt{2}}+\sqrt[3]{27-27\sqrt{2}+18-2\sqrt{2}}=$$ $$=\sqrt[3]{(3+\sqrt{2})^3}+ \sqrt[3]{(3-\sqrt{2})^3}=3+3=6$$ Ответ: 6 Задача 2. Если $3a^2-\sqrt{a}=1$, то чему равно $\frac{27a^2(\sqrt{a}-1)}{a-1}$? Решение: $$\sqrt{a}+1=3a^2$$ Тогда $$\frac{27a^2(\sqrt{a}-1)}{a-1}=\frac{27a^2(\sqrt{a}-1)}{(\sqrt{a}-1)( \sqrt{a}+1)}=\frac{27a^2}{\sqrt{a}+1}=\frac{27a^2}{3a^2}=9$$ Ответ: 9.   ...

Два способа решить одну тригонометрическую задачу. Задача 1. Найти $\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}$. Решение алгебраическое. Показать Представим больший угол как сумму двух углов по $36^{\circ}$: $$\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \operatorname{tg}^2 72^{\circ}=\operatorname{tg}^2 36^{\circ}\cdot \left(\frac{2\operatorname{tg} 36^{\circ}}{1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2=\frac{4\operatorname{tg}^4 36^{\circ}}{\left(1-\operatorname{tg}^2 36^{\circ}}\right)^2$$ Так как тангенсы смежных углов отличаются знаком,...

Пара алгебраических задач на сообразительность. Для тренировки при решении задачи 21 ОГЭ и задачи 9 ЕГЭ. Задача 1. Если $a^2+12\sqrt{a}=5, a>0$, то $a+2\sqrt{a}=?$ Решение. Показать Пусть $\sqrt{a}=t$, тогда $$t^4+12t=5$$ А ищем мы $t^2+2t$. $$t^4+12t-5=0$$ $$t^4+4t^2+4-4t^2+12t-9=0$$ $$(t^2+2)^2-(2t-3)^2=0$$ Раскроем как разность квадратов: $$(t^2+2-2t+3)( t^2+2+2t-3)=0$$ $$(t^2-2t+5)( t^2+2t-1)=0$$ Либо $$t^2-2t+5=0$$ Тут корней нет. $$t^2+2t-1=0$$ То есть...