Определение проекции вектора на плоскость

Задача взята из предлагаемых на сертификации по математике, проводимой порталом "Профи.ру" для репетиторов.

Задача. Чему равны координаты проекции вектора $\vec{w}(19; -1;-9)$ на плоскость, проходящую через точки $X(8; 7; 0), L(8; 2; 0), C(5; 4; -2)$ ?

Уравнение плоскости определяется выражением:

$$ax+by+cz+d=0$$

Определим уравнение плоскости. Для этого составим систему:

$$\begin{Bmatrix}{8\cdot a+7\cdot b+0\cdot c+d=0}\\{ 8\cdot a+2\cdot b+0\cdot c+d=0}\\{ 5\cdot a+4\cdot b-2\cdot c+d=0}\end{matrix}$$

Вычтем из первого уравнения второе:

$$5\cdot b=0$$

$$b=0$$

Подставим это в первое уравнение, получим

$$8\cdot a+d=0$$

Откуда

$$a=-\frac{d}{8}$$

Подставляя найденное в третье уравнение, имеем:

$$-5\cdot \frac{d}{8} -2\cdot c+d=0$$

$$2\cdot c=\frac{3d}{8}$$

$$c=\frac{3d}{16}$$

Тогда уравнение плоскости будет выглядеть:

$$-\frac{d}{8}\cdot x+\frac{3d}{16}\cdot z+d=0$$

Это можно разделить на $d$, и тогда мы получим:

$$-\frac{1}{8}\cdot x+\frac{3}{16}\cdot z+1=0$$

Вектор, его проекция, плоскость и нормаль к ней.

Следовательно, нормаль к плоскости имеет координаты: $\vec{n}(-\frac{1}{8}; 0; \frac{3}{16})$, что означает, что лежит эта нормаль в плоскости, перпендикулярной оси $y$, а значит,  сама плоскость ей параллельна. Это уже означает, что координата проекции заданного вектора на эту плоскость должна иметь вторую координату, равную -1 - координате исходного вектора. Остается найти его первую и третью координаты.

У нас есть уравнение плоскости – то есть координаты вектора нормали, и есть  координаты  двух точек (начала и конца вектора). Тогда можно записать каноническое уравнение прямой, проходящей через данную точку параллельно нормали. Составим два таких уравнения – для точек начала и конца вектора, тогда, решив такое уравнение совместно с уравнением плоскости, получим координаты точек, где прямые, параллельные нормали и проходящие через конец и начало вектора, «протыкают» плоскость, а это и будут точки конца и начала вектора проекции.

Общий вид уравнения:

$$\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$$

Пусть координаты начала вектора проекции $(x_1; 0; z_1)$, координаты конца  $(x_2; 0; z_2)$.

Для конца заданного вектора это уравнение будет выглядеть так:

$$\frac{x_2-19}{-\frac{1}{8}}=\frac{z_2+9}{\frac{3}{16}}$$

Из этого уравнения имеем:

$$8(19-x_2)=\frac{16(z_2+9)}{3}$$

Уравнение плоскости преобразуем к виду:

$$-2x_2+3z_2+16=0$$

Решим эти два уравнения совместно:

Из последнего

$$x_2=1,5z_2+8$$

Подставим в уравнение прямой:

$$8(19-1,5z_2-8)= \frac{16}{3}(z_2+9)$$

Откуда

$$z_2=\frac{30}{13}$$

Тогда

$$x_2=\frac{149}{13}$$

Это нами были найдены координаты конца вектора проекции. Найдем координаты его начала, повторяем все действия, помня, что начало заданного вектора совпадает с началом координат:

$$\frac{x_1-0}{-\frac{1}{8}}=\frac{z_1-0}{\frac{3}{16}}$$

Из этого уравнения имеем:

$$x_1=-\frac{2}{3}z_1$$

Подставим в уравнение прямой:

$$-\frac{1}{8}\cdot \left(-\frac{2}{3}z_1 \right)+\frac{3}{16}z_1+1=0$$

Откуда

$$z_1=-\frac{48}{13}$$

Тогда

$$x_1=\frac{32}{13}$$

Осталось просто вычесть из координат конца координаты начала:

$$x=x_2-x_1=\frac{149}{13}-\frac{32}{13}=\frac{117}{13}=9$$

$$z=z_2-z_1=\frac{30}{13}+\frac{48}{13}=\frac{78}{13}=6$$

Ответ: вектор проекции на плоскость имеет координаты (9; -1; 6).