Разделы сайта

Рекомендую

БИБЛИОТЕКА КАЛЬКУЛЯТОРЫ и ГРАФИКИ EGE-OK РЕШУ ЕГЭ - Физика РЕШУ ЕГЭ - Математика Тренировочные варианты AlexLarin.com
🏠 Главная ▫️ Категории ▫️ Математика ▫️ ЕГЭ профиль ▫️ Уравнения и неравенства с модулями

Категория:

ЕГЭ профиль ...

Уравнения и неравенства с модулями

20.05.2015 06:56:27 | Автор: Анна

Сегодня порешаем немного заданий с модулями, вспомним, как они раскрываются, будут и уравнения, и неравенства. Поехали…

Задание 1. Решить уравнение: delim{|}{2-x}{|}=2x+1

Совсем простое уравнение. Раскрываем модуль со знаком «плюс» слева от точки 2 и со знаком «минус» – справа, так как в этой точке подмодульное выражение меняет знак с плюса на минус: 2-x=0, x=2.

Задание 13 профиль Получаем систему:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-x=2x+1} {x-2=2x+1}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{-3x=-1} {-x=3}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x={1/3}} {x=-3}}}{ }

Решение x=-3 найдено на промежутке (2; +infty), и, соответственно, этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень уравнения посторонний. Ответ: x={1/3}

Задание 2. Решить уравнение: delim{|}{2x-3}{|}= delim{|}{3x+4}{|}

Приравняем к нулю оба подмодульных выражения, чтобы определить точки перемены их знаков: delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x-3=0} {3x+4=0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=1,5} {x={-4/3}}}}{ }

Расставляем полученные точки на координатной оси, они нам ее разобьют на три промежутка. Расставляем знаки подмодульных выражений на каждом получившемся промежутке. Это просто сделать, подставив любое число из данного промежутка в модуль и определив, получается положительное число или отрицательное.


Раскрываем модуль

Теперь видно, с каким знаком надо раскрыть модуль на каждом интервале. Придется решить три уравнения, раскрыв модули с нужными знаками на каждом из них.

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  3-2x= -3x-4 x= -7

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  3-2x= 3x+4 x= -0,2

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  2x-3= 3x+4 x= -7 – эта точка не принадлежит своему интервалу, поэтому этот корень – посторонний. Ответ: x=-7, x=-0,2

Задание 3. Решить уравнение: delim{|}{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}{|}= 1

Решать можно либо графическим способом, либо постепенно раскрывая модули снаружи, как будто снимая листья с кочана капусты. Мы сделаем и тем способом, и другим. Сначала – аналитически (то есть раздевая капусту), снимаем первый модуль:

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 1} {{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= -1}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{{delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 2} {{delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}= 4}}}{ }

Раскрываем второй модуль:

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{3- delim{|}{4-x}{|}=-2} {3- delim{|}{4-x}{|}= 2} {3- delim{|}{4-x}{|}=4} {3- delim{|}{4-x}{|}=-4}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{delim{|}{4-x}{|}=5} {delim{|}{4-x}{|}=1} {delim{|}{4-x}{|}=-1} {delim{|}{4-x}{|}=7}}}{ }

Раскрываем третий модуль: delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{4-x=5} {4-x=-5} {4-x=1} {4-x=-1} {4-x=7} {4-x=-7}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{6}{1}{{x=-1} {x=9} {x=3} {x=5} {x=-3} {x=11}}}{ }

Теперь решим графически. Построим сначала прямую 4-x:


Построение прямой

Теперь «наденем» на нее модуль, то есть отразим всю ее часть, что оказалась ниже оси х, вверх: delim{|}{4-x}{|}


Отражаем вверх все, что ниже оси х

Теперь построим - delim{|}{4-x}{|}  - минус перевернет наш график вверх тормашками:


Снова отражаем

Поднимаем все вверх на три единицы: 3- delim{|}{4-x}{|}


Поднимаем вверх

«Надеваем» второй модуль, то есть снова отражаем всю отрицательную часть вверх:


Второй модуль

Снова ставим «минус»: - delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}


Снова отражаем

Снова поднимаем вверх на три единицы: 3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}


Поднимаем

Наконец, последний модуль: delim{|}{3- delim{|}{3- delim{|}{4-x}{|}}{|}}{|}


Последний модуль

И проводим прямую y= 1, пересечения с которой и есть искомые корни:


Прямая пересекает график

Ответ: {x=-1}, {x=9}, {x=3}, {x=5}, {x=-3}, {x=11}

Задание 4. Решить неравенство: delim{|}{x^2-4x-3}{|}<3x-3

Это неравенство также можно решить графически. Справа имеем прямую y= 3x-3, слева под знаком модуля – парабола. Модуль переворачивает ту часть параболы, которая находится под осью х, вверх. Требуется найти те интервалы (отрезки), где прямая располагается выше параболы.


Графическое решение

Нас интересует, очевидно, интервал ВА, точки В и А не войдут в решение, так как неравенство строгое:  x in (3; 7)

Можно также решить аналитически: раскрываем модуль с положительным и отрицательным знаками. delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-4x-3<3x-3} { -x^2+4x+3<3x-3}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x^2-7x<0} { x^2-4x-3+3x-3>0}}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { x^2-x-6>0}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x(x-7)<0} { (x+2)(x-3)>0}}}{ }

На рисунке показаны решения первого неравенства и второго, и область пересечения этих решений закрашена.


Пересечение решений

Ответ: x in (3; 7)

Задание 5. Решить уравнение: 25^{delim{|}{1-2x}{|}}= 5^{4-6x}

5^{2delim{|}{1-2x}{|}}= 5^{4-6x} delim{|}{2-4x}{|}= 4-6x

Определяем точку перемены знака модуля: 2-4x=0 x={1/2}

Справа от этой точки модуль раскроем со знаком «минус», слева – со знаком «плюс» Задача 13 профиль delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2-4x=4-6x} {-2+4x=4-6x }}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{2x=2} {-6=-10x }}}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x=1} {x=0,6}}}{ }

Первое решение сделано на промежутке x in ({-}infty; 1/2), точка x=1 этому промежутку не принадлежит, поэтому этот корень – посторонний. Ответ: x=0,6

 

Задание 6. Решить уравнение: 2^{delim{|}{3x-5}{|}}= 4*8^{delim{|}{x-1}{|}}

 

 

2^{delim{|}{3x-5}{|}}= {2^2}*2^{3delim{|}{x-1}{|}} 2^{delim{|}{3x-5}{|}}= 2^(2+{3delim{|}{x-1}{|}})

Приравниваем показатели степеней: delim{|}{3x-5}{|}= 2+3delim{|}{x-1}{|}

Определяем точки перемены знаков подмодульных выражений: 3x-5=0 x=5/3 x-1=0 x=1


Раскрываем модуль

Раскрываем модули с соответствующими знаками на каждом из промежутков:

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  5-3x= 2+3-3x x in ({-}infty; +infty)

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  5-3x= 2+3x-3 x= 1

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»:  3x-5= 2+3x-3 -нет решений. Получается, что уравнению будет удовлетворять любое число из промежутка x in (infty; 1]

 

Задание 7. Решить уравнение: lg {delim{|}{2x-3}{|}}-lg{delim{|}{3x-2}{|}}=1

Воспользуемся формулой разности логарифмов и заменим ее частным: lg {{delim{|}{2x-3}{|}}/{delim{|}{3x-2}{|}}}=1

По определению логарифма: {delim{|}{2x-3}{|}}/{delim{|}{3x-2}{|}}=10


Раскрываем модуль

Интервал а) – оба модуля раскрываем со знаком «минус»:  {3-2x}/{2-3x}=10 3-2x=20-30x, x={17/28}

Интервал б) – первый модуль раскрываем со знаком «минус», второй – со знаком «плюс»:  {3-2x}/{3x-2}=10, 3-2x=30x-20, x={23/32}

Интервал в) – оба модуля раскрываем со знаком «плюс»: {2x-3}/{3x-2}=10 2x-3=30x-20, x={17/28} – этот корень своему промежутку не принадлежит, он посторонний. Ответ: x={17/28} x={23/32}

 

Задание 8. Решить неравенство: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5<=1

В основании логарифма – модуль, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется.

Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а) 0<delim{|}{x-1}{|}-3<1

3<delim{|}{x-1}{|}<4

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x-1<4} {x-1>-4} {x-1>3} {x-1<-3}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{4}{1}{{x<5} {x>-3} {x>4} {x<-2}}}{ }

То есть область, где решение будет существовать, такая: x in (-3;-2) union(4;5)

На этой области при решении основного неравенства мы поменяем знак: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5>= log_{delim{|}{x-1}{|}-3} {delim{|}{x-1}{|}-3}

5>= delim{|}{x-1}{|}-3 delim{|}{x-1}{|}<=8 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1<=8} {x-1>=-8} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x<=9} {x>=-7} }}{ }

б) Вторая область:  delim{|}{x-1}{|}-3>1

delim{|}{x-1}{|}>4 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1>4} {x-1<-4} }}{ }

delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>5} {x<-3} }}{ }

Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1: log_{delim{|}{x-1}{|}-3} 5<= log_{delim{|}{x-1}{|}-3} {delim{|}{x-1}{|}-3}

5<= delim{|}{x-1}{|}-3 delim{|}{x-1}{|}>=8 delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x-1>=8} {x-1<=-8} }}{ } delim{lbrace}{matrix{2}{1}{{x>=9} {x<=-7} }}{ }

Осталось внимательно и аккуратно наложить области решения неравенства на те промежутки, где они существуют:


Наложение решений на промежутки

Ответ: x in( -infty;-7] union(-3;-2)union(4;5) [9; +infty)

 

Задание 9. Решить неравенство: log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2<=2

В основании логарифма – модуль х, и в зависимости от того, какое значение он принимает, неравенство может решаться по-разному, так как его знак меняется. Рассмотрим два случая: когда основание логарифма от 0 до 1, и когда оно больше 1: а) 0<delim{|}{x}{|}<1

Этот промежуток изображен на рисунке: Задача 13 профиль Тогда знак неравенства меняем, так как основание логарифма меньше 1: log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2>= log_{delim{|}{x}{|}} ({delim{|}{x}{|}})^2

(x-1)^2>= ({delim{|}{x}{|}})^2

x^2-2x+1>= x^2 x<= {1/2}

б) delim{|}{x}{|}>1 Знак неравенства не меняем, так как основание логарифма больше 1:


Наложим решения на области их существовавния

log_{delim{|}{x}{|}} (x-1)^2<= log_{delim{|}{x}{|}} ({delim{|}{x}{|}})^2

(x-1)^2<= ({delim{|}{x}{|}})^2 x^2-2x+1<= x^2

x>= {1/2}

Наложим решения на области, к которым эти решения относятся:

Ответ: x in (-1;0) union (0; {1/2}] union (1;+infty)

Для вас другие записи рубрики
ЕГЭ профиль:

Перевод бесконечных периодических дробей в обыкновенные (Комментариев пока нет)Извлекаем корни в столбик без калькулятора (Комментариев пока нет)Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - не опять, а снова! (3 комментария)Неравенства профильного ЕГЭ (задания 15) - еще немного! (Комментариев пока нет)Неравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3) - продолжение (Комментариев пока нет)Неравенства профильного ЕГЭ - задания 15 (С3) (Комментариев пока нет)Сложные системы уравнений (Комментариев пока нет)

2 комментария

Сергей ✉️ 25.03.2016 07:34:35

Спасибо большое! Как раз искал материалы, чтобы понять тему. В третьем задании, когда мы "раздевали" капусту, в самом начале, когда мы избавились от первого модуля, у нас получилось -2 и -4. Но в левой части перед модулем остался -1? (-|3-|4-x||) или мы его куда-то переместили? с этим только у меня была загвоздка.

Анна Валерьевна ✨ 25.03.2016 07:54:07

Спасибо большое за внимательность, я немного поправила и теперь все корректно. (Конечно, минус пропустила.)

Добавить комментарий

Ваш e-mail не будет опубликован. Обязательные поля помечены *

Проверка что Вы человек: сумма 4 + 6 =

Последние записи

Последние комментарии

Анна Валерьевна (21.01.2026 14:11:09)

Не видела задачи, не видела решение и пока ничего не могу сказать. Если брусок неподвижен, по идее, надо брать суммарную массу доски и бруска. Если подвижен, берем в уравнение для доски силу трения со стороны бруска.

Татьяна (12.01.2026 13:16:33)

Здравствуйте, Анна Валерьевна! ЕГКР декабря 2025 года. Москва. Доска трется о поверхность. На доске неподвижный брусок. В решении для доски в проекции на Ох для ma берут только массу доски. Без массы бруска. Не пойму, почему? Детям как-то надо объяснить разницу в задачах про кирпичи и про доску с бруском. Как? Подскажите, пожалуйста. Нигде не найду объяснение в разнице условий

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:42:03)

Это не я считаю, а автор вебинара.

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:41:15)

Благодарю.

Анна Валерьевна (08.01.2026 16:40:23)

Да, эти картинки взяты из задачника Турчиной (3800 задач по физике). Ну что тут поделаешь...

Облако меток

Случайный выбор тегов

Архивы