Задачи с параметром. Аналитический подход

Готовимся решать 18 задачу – задачу с параметром. Предложенные задачи попробуем решать аналитически.

Задача 1.

Найти все $a$, при которых уравнение

$$\sqrt{x^4-9x^2+a^2}=x^2-3x-a$$

имеет ровно три корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Решение. Возведем в квадрат:

$$x^4-9x^2+a^2=x^4+9x^2+a^2-6x^3-2ax^2+6ax$$

$$6x^3+(2a-18)x^2-6ax=0$$

$$6x\left(x^2+\left(\frac{a}{3}-3\right)x-a\right)=0$$

Чтобы корни были разными, $a\neq -9; a\neq 0$.

Корни $x=\frac{a}{3}$; $x=0; x=3$.

Проверяем: при $x=0$

$$\sqrt{a^2}=-a$$

То есть $a\leqslant 0$.

При $x=3$

$$\sqrt{81-81+a^2}=9-9-a$$

То есть опять $a\leqslant 0$.

При $x=\frac{a}{3}$

$$\sqrt{\frac{a^4}{81}-a^2+a^2}=\frac{a^2}{9}+a-a$$

$$\sqrt{\frac{a^4}{81}}=\frac{a^2}{9}$$

Последнее всегда верно.

Ответ: $a \in (-\infty; -9)\cup (-9; 0)$.

 

Задача 2.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$2^x-a=\sqrt{4^x-3a}$$

имеет ровно 1 корень.

Решение. Введем замену $t=2^x>0~~~~~~~~~~~~~~~(1)$.

$$t-a=\sqrt{t^2-3a}~~~~~~~~~~~~(2)$$

Возводим в квадрат:

$$t^2-2at+a^2=t^2-3a$$

$$2at=a^2+3a$$

Подставив в исходное уравнение $a=0$, получим

$$2^x=\sqrt{4^x}$$

Что верно всегда, при любом $x$. Нам же нужен 1 корень, поэтому $a=0$ не подходит, значит, можно разделить на $2a$ выражение $2at=a^2+3a$. Получим:

$$t=\frac{a+3}{2}$$

Из (2)

$$t-a\geqslant 0$$

Из (1)

$$\frac{a+3}{2}>0$$

$$\frac{a+3}{2}-a\geqslant 0$$

$$\frac{3-a}{2}\geqslant 0$$

Получили, что $a>-3; a \leqslant 3$

Ответ: $a \in (-3; 0)\cup (0; 3]$.

Задача 3.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$ x^2+(x-1)\sqrt{3x-a}=x$$

имеет ровно 1 корень на отрезке $[0; 1]$. (ЕГЭ-2017, основная волна).

Решение:

$$ x^2-x+(x-1)\sqrt{3x-a}=0$$

$$(x-1)(x+\sqrt{3x-a})=0$$

$x=1$ является корнем при $3-a\geqslant 0$.

$$x+\sqrt{3x-a}=0$$

На отрезке $[0; 1]$ $x \geqslant 0$. Но

$$\sqrt{3x-a}=-x$$

$$\sqrt{3x-a}\geqslant 0$$

То есть $x=0$. Но $x=0$ при $a=0$ - а это уже два корня. Поэтому один корень будет у уравнения при $a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3]$.

Ответ: $a \in (-\infty; 0)\cup (0; 3]$.

 

Задача 4.

Найдите все значения $a$, при каждом из которых уравнение

$$ \sqrt{x}+\sqrt{2a-x}=a$$

имеет ровно 2 корня. (ЕГЭ-2016, основная волна).

Введем замену:

$$t=\sqrt{x} \geqslant 0$$

Уравнение примет вид:

$$t+\sqrt{2a-t^2}=a$$

$$\sqrt{2a-t^2}=a-t\geqslant 0$$

Возводим в квадрат:

$$2a-t^2=a^2-2at+t^2$$

$$2t^2-2a(t+1)+a^2=0$$

$$2t^2-2at+a^2-2a=0$$

Решаем как квадратное. Второй коэффициент – четный, поэтому

$$\frac{D}{4}=a^2-2a^2+4a>0$$

$$t_{1,2}=\frac{a\pm \sqrt{4a-a^2}}{2}\in (0; a]$$

$t_{1,2}=\frac{a}{2}\pm \frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}$ -  корни симметричны относительно $\frac{a}{2}$. $\frac{a}{2}$ - середина отрезка $(0; a]$.

Тогда

$$0<\frac{\sqrt{4a-a^2}}{2}\leqslant \frac{a}{2}$$

Таким образом

$$\begin{Bmatrix}{ 4a-a^2\leqslant a^2}\\{ 4a-a^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ a\geqslant 2}\\{ a<4}\end{matrix}$$

Ответ: $a \in [2; 4)$.