Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года.

Задача с параметром из олимпиады МФТИ 2020 года. Очень простая, лично я люблю такие: с четкой графической интерпретацией.

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых система

$$\begin{Bmatrix}{ \mid y-3-x\mid+\mid y-3+x\mid=6}\\{(\mid x\mid -4)^2+(\mid y\mid-3)^2=a}\end{matrix}$$

имеет ровно два решения.

Сразу видно, что второе уравнение системы задает систему окружностей переменного радиуса $\sqrt{a}$ с центрами в точках $(4,3); (4, -3); (-4, 3); (-4,-3)$.

Что же представляет собой изображение первого уравнения? Раскроем модули всеми возможными способами:

Оба – с плюсами (область, в которой $y\qegslant x+3$ и $ y\qegslant -x+3$):

$$y-3-x+y-3+x=6$$

Или

$$2y=12$$

$$y=6$$

Оба – с минусами (область, в которой $y\legslant x+3$ и $ y\legslant -x+3$):

$$-y+3+x-y+3-x=6$$

Или

$$-2y=0$$

$$y=0$$

Области, в которых модули раскрываются с разными знаками

Первый – с плюсом, второй – с минусом (область, в которой $y\qegslant x+3$ и $ y\legslant -x+3$):

$$y-3-x-y+3-x=6$$

Или

$$-2x=6$$

$$x=-3$$

Первый – с минусом, второй – с плюсом (область, в которой $y\legslant x+3$ и $ y\qegslant -x+3$):

$$-y+3+x+y-3+x=6$$

Или

$$2x=6$$

$$x=3$$

Тогда имеем квадрат:

Изображение первого уравнения системы

Теперь добавим к нему окружности:

При радиусах окружностей 1 имеем два решения

Видно, что при $a=1$ имеем как раз два решения. Затем при росте радиусов окружностей будут добавляться еще пересечения (решения), и, наконец, при $a=25$  - при этом радиус окружностей равен 5 – будет снова два решения. Два – потому что

$$4^2+3^2=25$$

Точка (0; 0) принадлежит квадрату и является решением уравнения 2.

Два решения при радиусах окружностей 5

Ответ: $a=1$ и $a=25$.