Задача с параметром и логарифмом

Задачи с параметрами - одни из самых сложных в ЕГЭ. В школе такие задачи не изучают, или изучают поверхностно: самые простые и как правило на факультативах для наиболее сильных учеников. Однако освоить эти задачи можно, для этого, как и во всем, необходим опыт решения.

Задача. Найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\log_{-x+6} (a-10x)=2$$

Относительно величины $x$ имеет 2 решения на промежутке $x \in(-4;6)$.

Логарифм определен при

$$\begin{Bmatrix}{ -x+6>0 }\\{ -x+6\neq 1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x<6 }\\{ x\neq 5}\end{matrix}$$

Тогда

$$(6-x)^2=a-10x$$

$$36-12x+x^2=a-10x$$

$$36-2x+x^2=a$$

Построим в координатах $y,x$. При построении получим параболу и прямую, параллельную оси $x$. На параболе точку, соответствующую ординате $x=5$ выкалываем. Нужно найти такие значения $a$, когда прямая и парабола будут иметь два пересечения.

Парабола и пересекающая ее прямая

Если прямая пройдет через выколотую точку, то пересечение будет одно. Также при касании прямой и параболы (в вершине параболы) будем иметь один корень.

Вершина параболы располагается в точке с координатой $-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2}=1$. В этой точке $y=1^2-2+36=35$.

Таким образом, нас начинают устраивать значения $a$, большие 35, но меньшие значения, когда прямая $y=5$ пройдет через выколотую точку.

Найдем, чему будет равно значение параметра при $x=5$ (выколотая точка):

$$5^5-2\cdot5+36=51$$

Поднимаем нашу прямую выше, ведь после прохождения выколотой точки прямая и парабола вновь имеют два пересечения, что нас вполне устраивает. Так будет до тех пор, пока мы не достигнем краев промежутка. На краях промежутка имеем:

$$y(-4)=4^2+2\cdot4+36=60$$

$$y(6)=6^2-2\cdot6+36=60$$

Итак, при $51<a<60$ также имеем два пересечения.

Ответ: $a \in (35;51) \cup (51;60)$.

Для тренировки предлагаю такое же задание: найти все значения параметра $a$, при каждом из которых уравнение

$$\log_{\frac{-x+6}{2}} (a-\frac{10x}{3})=2$$

не имеет решений на промежутке $x \in (-8;6)$.

Ответ: $a \in (-\infty; -\frac{44}{9}] \cup {11} \cup [20; +\infty)$.