Задача с параметром и двумя модулями

В этой задаче, если заметить симметрию относительно обеих переменных, то при решении можно обойтись "малой кровью" - решение сводится к определению уравнений прямых первого квадранта, а во все остальные картинку можно отразить симметрично.

Задача. Найти значения параметра $a$, при которых  решения неравенства $$(\mid x \mid+ \mid 4- \mid a \mid \mid-4)^2 \leqslant 4$$

принадлежат  отрезку  $x \in [1;3]$.

Сразу обратимся к плоскости $OXA$. Обратим внимание на то, что знак модуля присутствует и в отношении переменной $x$, и переменная $a$ также под знаком модуля. Поэтому если в решении есть пара $(x;a)$, то и пары $(-x;a)$, $(x;-a)$, $(-x;-a)$ тоже обязательно будут присутствовать в решении. А это означает, что, если будем рисовать картинку в плоскости $OXA$, то можно проработать первый квадрант, а в остальных все будет симметрично. Поэтому раскроем модули $\mid x \mid$ и $\mid a \mid$ с положительными знаками и посмотрим, что будет:

$$( x+ \mid 4-  a \mid-4)^2 \leqslant 4$$

Теперь перепишем так:

$$( x+ \mid 4-  a \mid-4)^2 -2^2\leqslant 0$$

И раскроем как разность квадратов:

$$( x+ \mid 4-  a \mid-6)( x+ \mid 4-  a \mid-2)\leqslant 0$$

Линия излома графиков $a=4$ (приравниваем к нулю подмодульное выражение). Выше этой линии модуль раскроется со знаком «минус», а ниже – со знаком «плюс». Тогда имеем выше линии $a=4$:

$$(x+a-10)(x+a-6) \leqslant 0$$

И

$$a=10-x$$

$$a=6-x$$

Ниже линии излома:

$$(x-a-2)(x-a+2) \leqslant 0$$

И

$$a=-2+x$$

$$a=2+x$$

Строим в первом квадранте:

Рисунок 1. Построение в первом квадранте.

Строим в оставшихся квадрантах – просто отражаем симметрично построенные в первом квадранте прямые и заштриховываем область, в которой неравенство выполняется зеленым.  Чтобы удостовериться, что это действительно так, можно выбрать  любую точку в области между прямыми (закрашенной) и подставить ее координаты в неравенство, проверив, выполняется ли оно.

Рисунок 2. Отражение рисунка из первого во все остальные квадранты.

Теперь выделим отрезок $x \in [1;3]$ коричневыми прямыми и выделим цветом те участки, где решения неравенства принадлежат  отрезку:

Рисунок 3. Выделение промежутка и определение значения параметра

После этого можно записывать ответ:

$$a \in [-7;-5] \cup [-3;-1] \cup [1;3] \cup [5;7]$$

При оформлении подобного задания на ЕГЭ могу посоветовать все же вычислить полученные значения параметра, подставляя $x=1$ и $x=3$ в уравнения соответствующих прямых, полученные выше.

Ответ: $a \in [-7;-5] \cup [-3;-1] \cup [1;3] \cup [5;7]$