Введение в параметры - 9

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 15.

Найдите количество решений следующего уравнения в зависимоcти от значений параметра $a$ (где$ \{x\}$ – дробная часть числа $x$:

$$a – \{x\} = - \sqrt{2x – x^2}$$.

Решение. Воспользуемся графическим методом. Слева – график дробной части числа, подвижный при этом. Справа – стационарная полуокружность, нижняя ее половина. Займемся ею.

$$y=- \sqrt{2x – x^2}$$

$$y^2=2x – x^2$$

$$y^2+x^2-2x+1=1$$

$$(x-1)^2+y^2=1$$

Центр полуокружности в точке $(1,0)$, радиус ее равен 1.

Строим полуокружность и график дробной части числа. Так как второй – подвижный, начинаем его двигать. При $a \in (-\infty; -1)$ - нет решений.

Графики не пересекаются - решений нет.

При $a=-1$ - одно решение.

Одно решение

От $-1$ до касания сохраняется одно решение, а касание произойдет при $a=-0,5$ - появилось два решения.

Касание слева добавило второе решение

При $a \in (-0,5; 0)$ - три решения, при $a=0$ - четыре.

Слева - три решения, справа - 4

При $a \in (0; 1]$ - одно решение.

Слева - одно решение, в центре - все еще одно (a=1), справа - уже нет решений.

При $a>1$ решений нет.

Задача 16.

Найдите количество решений следующего уравнения в зависимости от значений параметра $a$ (где $[x]$ - целая часть числа $x$:

$$a –[x] = - \sqrt{4 – x^2}$$

Решение. Справа опять полуокружность:

$$y= - \sqrt{4 – x^2}$$

$$y^2=4 – x^2$$

$$x^2+y^2=4$$

Центр в начале координат, радиус 2, существует только нижняя часть окружности.

Левая часть – подвижный график целой части. Начинаем двигать его снизу вверх. При $a$ от $-\infty$ до касания нет решений. Касание произойдет при $x=-1$. Подставим:

$$a+1=-\sqrt{3}$$

$$a=-1-\sqrt{3}$$

Слева - еще нет решений, справа - одно.

Двигаем выше, до $a=-2$ сохраняется одно решение, при $a=2$ - три. Три решения сохраняются до $a=-\sqrt{3}$.

Слева - одно решение, справа - три (а=-2)

Далее при $a \in (-\sqrt{3}; -1]$ - одно решение.

Одно решение в указанном интервале

При $a \in (-1; -1+\sqrt{3})$ - нет решений. При $a=-1+\sqrt{3}$ - одно решение.

Слева а=-1 и одно решение, справа - тоже одно решение после некоторого интервала, в котором решения отсутствовали

Далее при $a \in (-1+\sqrt{3}; 1]$ - одно решение.

Слева - одно решение, справа нет решений.

Решений далее не будет до $a=2$ - здесь одно решение. И при $a>2$ - более нет решений.