Введение в параметры - 8

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 13.

Постройте графики следующих функций:

а) $f(x) = [2x – 0,8]$;

б) $f(x) = \{2x +0,4\}$.

Квадратные скобки – операция извлечения целой части числа. Если не уверены, как строить – составьте таблицу, в которой определите $f(x)$ для различных $x$ с шагом $0,2$, например.

График к задаче 13, а)

Фигурные скобки - это дробная часть числа. Совет тот же: постройте для разных точек с небольшим шагом.

График к задаче 13, б)

Задача 14.

Найдите все значения параметра $a$, при каждом из которых следующая система уравнений имеет единственной решение

$$\begin{Bmatrix}{ (x – 3a – 2)^2 + (y – a +1)^2 =25}\\{(x -2a -1)^2 + (y – a +1)^2 = 81}. }\end{matrix}$$

Решение.

Оба уравнения изображаются окружностями. У первой радиус равен 5, а у второй – 9. Обе окружности подвижные. Рассмотрим первую.

$$x=3a+2$$

$$a=\frac{x-2}{3}$$

$$y=a-1=\frac{x-2}{3}-1=\frac{x}{3}-\frac{5}{3}$$
Вот по этой прямой и перемещается центр первой окружности.

Рассмотрим вторую:

$$x=2a+1$$

$$a=\frac{x-1}{2}$$

$$y=a-1=\frac{x-1}{2}-1=\frac{x}{2}-\frac{3}{2}$$
По такой прямой перемещается центр второй окружности.

Единственное решение – при касании окружностей. Если касание внешнее, то расстояние между центрами должно быть равно сумме радиусов.

$$\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a+1)^2}=14$$

$$(a+1)^2=196$$

$$a=13$$

$$a=-15$$

Если касание внутреннее, то расстояние между центрами должно быть равно разности радиусов.

$$\sqrt{(3a+2-2a-1)^2+(a-1-a+1)^2}=4$$

$$(a+1)^2=16$$

$$a=3$$

$$a=-5$$

Ответ: $a \in {-15; 13; -5; 3}$.