Введение в параметры – 6

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике “параметры”.

Задача 9.

В зависимости от параметра $\a$ найдите число решений системы

$$\begin{Bmatrix}{ \mid x \mid - \mid y \mid = a}\\{x^2 + y^2 = a^2}. }\end{matrix}$$

Решение. Второе уравнение – уравнение окружности с переменным радиусом и центром в начале координат.

Разберемся с первым. Для простоты можно принять $a$ равным любому числу. Пусть $a=4$.

В первом квадранте снимаем оба модуля с плюсом, получаем

$$x-y=4$$

$$y=x-4$$

В третьем квадранте оба модуля снимаем с минусами:

$$-x+y=4$$

$$y=4+x$$

Во втором квадранте первый модуль снимаем с минусом, второй – с плюсом:

$$-x-y=4$$

$$y=-x-4$$

И, наконец, в четвертом квадранте:

$$x+y=4$$
$$y=4-x$$

Строим:

Для a=4.

График построен для положительного $a=4$, вот график для отрицательного $a=-4$. Как видно, те же два решения.

Для a=-4.

Видно, что при любом $a$ будет два решения. Но если $a=0$, то окружность вырождается в точку, и решение одно.

Ответ: при $a=0$ решение одно, в остальных случаях 2.

Задача 10.

Производство некоторого товара облагалось налогом в размере $t_0$ рублей за единицу товара. Известно, что при налоге равном $t$ рублей за единицу товара объем производства товара составляет $10000 – 2t$ единиц, если это число положительно. После того как государство с целью повышения объема налоговых поступлений увеличило налог в два с половиной раза (до $t_1 = 2,5t_0$), сумма налоговых поступлений не изменилась. На сколько процентов государству следует изменить налог после этого повышения, чтобы добиться максимально возможных налоговых сборов?

Решение. Налоговые сборы составляют $f(t)=t(10000-2t)$ рублей при $t \leqslant 5000$.  Заметим, что графиком функции $f(t)$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Следовательно, наибольшее значение функции $f(t)$  равно ординате вершины этой параболы. Поскольку при $t_0$ и при $2,5t_0$ ординаты одинаковые, то эти точки расположены симметрично от вершины. Значит, абсцисса вершины параболы равна $\frac{x_0+2,5x_0}{2}=1,75x_0$. Так как $1,75x_0$ составляет $\frac{1,75x_0}{2,5x_0}=0,7$ - то есть 70% от максимума, то государству следует понизить налог на 30%.

Ответ: 30%.