Введение в параметры – 5

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо! Остальные статьи серии лучше всего искать поиском или в рубрике "параметры".

Задача 7.

Графики функций  $f(x) = 2x^2 +2x -1$ и $g(x) = -5x^2 – 2x +3$ пересекаются в двух точках. Найти коэффициенты $a$ и $b$ в уравнении прямой $y = ax + b$, проходящей через те же точки.

Решение. Приравняем, раз графики пересекаются:

$$2x^2 +2x -1=-5x^2 – 2x +3$$

$$7x^2 +4x -4=0$$

$$D=16+16\cdot 7=(8\sqrt{2})^2$$

$$x_{1,2}=\frac{-4 \pm 8\sqrt{2}}{14}=\frac{-2\pm 4\sqrt{2}}{7}$$

Найдем ординату для первого корня:

$$y_1=2\left(\frac{4\sqrt{2}-2}{7}\right)^2+2\left(\frac{4\sqrt{2}-2}{7}\right)-1$$

$$y_1=2\left(\frac{32-16\sqrt{2}+4}{49}\right)+\frac{8\sqrt{2}-4}{7}-1$$

$$y_1=\left(\frac{64-32\sqrt{2}+8}{49}\right)+\frac{56\sqrt{2}-28}{49}-1$$

$$y_1=\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1$$

Найдем ординату для второго корня:

$$y_2=2\left(\frac{-4\sqrt{2}-2}{7}\right)^2-2\left(\frac{4\sqrt{2}+2}{7}\right)-1$$

$$y_2=2\left(\frac{32+16\sqrt{2}+4}{49}\right)-\frac{8\sqrt{2}+4}{7}-1$$

$$y_2=\left(\frac{64+32\sqrt{2}+8}{49}\right)-\frac{56\sqrt{2}+28}{49}-1$$

$$y_2=\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1$$

Подставляем в уравнение прямой $y=kx+b$ координаты первой точки: $(\frac{-2+4\sqrt{2}}{7};\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1)$:

$$\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1=k\cdot \frac{-2+4\sqrt{2}}{7}+b$$

Подставляем в уравнение прямой $y=kx+b$ координаты второй точки: $(\frac{-2-4\sqrt{2}}{7};\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1)$:

$$\frac{44-24\sqrt{2}}{49}-1=k\cdot \frac{-2-4\sqrt{2}}{7}+b$$

Вычитаем из первого уравнения прямой второе:

$$\frac{48\sqrt{2}}{49}=k\left(\frac{4\sqrt{2} -2}{7}+\frac{2+4\sqrt{2}}{7}\right)$$

$$\frac{48\sqrt{2}}{49}=k\frac{8\sqrt{2}}{7}$$

$$k=\frac{6}{7}$$

И теперь находим второй коэффициент, подставляя $k$ в уравнение прямой:

$$\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1=6\cdot \frac{4\sqrt{2}-2}{49}+b$$

$$\frac{44+24\sqrt{2}}{49}-1-6\cdot \frac{4\sqrt{2}-2}{49}=b$$

$$\frac{44}{49}-1+\cdot \frac{12}{49}=b$$

$$b=\frac{56}{49}-1=\frac{8}{7}-1=\frac{1}{7}$$

Ответ: $k=\frac{6}{7}$, $b=\frac{1}{7}$.

Задача 8.

При каких  $a$ функция $f(x) = x^2 – 4\mid x –a^2 \mid – 10x$ имеет хотя бы одну точку максимума?

Решение:

При $ x –a^2\geqslant 0$

$$f(x) = x^2 – 4(x –a^2)– 10x=x^2-14x+4a^2$$

Это парабола, ветви направлены вверх, а вершина находится в точке $x_0=7$.

При $ x –a^2< 0$

$$f(x) = x^2 + 4(x –a^2)– 10x=x^2-6x-4a^2$$

Это парабола, вершина которой находится в точке $x_0=3$, ветви вверх.

Точка пересечения парабол и будет точкой максимума. И нужно, чтобы они пересеклись в пространстве между их вершинами.

К задаче 8

Заметим, что при $x=a^2$ получим одну и ту же функцию: $x^2-10x$. В этом случае максимум – точка стыка парабол – будет отсутствовать. Значит, должны соблюдаться условия:

$$\begin{Bmatrix}{ a^2<7}\\{a^2>3}\end{matrix}$$

Решение этой системы:

$$x \in [-\sqrt{7}; -\sqrt{3}]\cup [\sqrt{3};\sqrt{7}]$$