Введение в параметры – 4

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 6.

Изобразите на координатной плоскости $xOy$ множества точек, координаты которых удовлетворяют уравнениям:

а) $2x^2 + \frac{x}{y} = 0$;

б) $x = - \frac{x^2 + y^2 +2}{4}$;

в) $xy = \frac{\mid x -2y +3 \mid +y^2}{4} +x^2$;

г) $\mid \frac{y}{2} \mid = 1 - \mid x \mid$;

д) $\mid y +1 \mid = \frac{x}{2} +1$;

е) $y\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y -1}$.

Решение. Строим а).

$$2x^2 + \frac{x}{y} = 0$$

$$2x^2 =- \frac{x}{y} $$

$$y=-\frac{x}{2x^2}=-\frac{1}{2x}$$

$$x \neq 0; y \neq 0$$.

К пункту а)

Строим б).

$$x = - \frac{x^2 + y^2 +2}{4}$$

$$-4x = x^2 + y^2 +2$$

$$x^2 +4x+4+ y^2 =2$$

$$(x+2)^2+ y^2 =(\sqrt{2})^2$$

Это окружность с центром в точке $(-2; 0)$ и радиусом $\sqrt{2}$. Я ее строить не буду – это слишком просто.

Строим в).

$$xy = \frac{\mid x -2y +3 \mid +y^2}{4} +x^2$$

$$4xy = \mid x -2y +3 \mid +y^2+4x^2$$

$$ \mid x -2y +3 \mid +y^2+4x^2-4xy =0$$

$$ \mid x -2y +3 \mid +(y-2x)^2 =0$$

Имеем сумму двух неотрицательных величин, которая равна нулю. Это может быть только при равенстве нулю обоих слагаемых.

$$ y-2x=0$$

$$y=2x$$

$$x -2y +3=0$$

Подставляем:

$$x -4x +3=0$$

$$x=1$$

$$y=2$$

То есть это – точка на координатной плоскости с координатами $(1; 2)$.

Решаем г).

$$\mid \frac{y}{2} \mid = 1 - \mid x \mid$$

$$\mid y \mid = 2 - 2\mid x \mid$$

$$2\mid x \mid+\mid y \mid = 2$$

С таким мы уже сталкивались в задаче 4 б) (смотри предыдущую статью).

Можно оба модуля раскрыть с плюсами – получив прямую в первом квадранте. Тогда в остальных квадрантах получим ее отражение.

К пункту г)

Строим д).

$$\mid y +1 \mid = \frac{x}{2} +1$$

При $y+1\geqslant 0$

$$ y +1  = \frac{x}{2} +1$$

$$ y= \frac{x}{2}$$

При   $y+1< 0$

$$-y -1= \frac{x}{2} +1$$

$$y=-2-\frac{x}{2}$$

Строим:

К пункту д)

Строим е).

$$y\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y -1}$$

$$\mid x \mid = \frac{\mid y \mid}{y(y -1)}$$

При $y \geqslant 0, x\geqslant 0 $

$$x  = \frac{1}{y -1}$$

$$y -1=\frac{1}{x}$$

$$y=1+\frac{1}{x}$$

При $y \geqslant 0, x<0 $

$$-x = \frac{1}{y -1}$$

$$ y -1=-\frac{1}{x}$$

$$ y =1-\frac{1}{x}$$

При $y<0, x\geqslant 0 $

$$ x = \frac{1}{1-y}$$

$$1-y=\frac{1}{x}$$

$$y=1-\frac{1}{x}$$

При $y<0, x<0 $

$$-x= \frac{1}{1-y}$$

$$1-y=-\frac{1}{x}$$

$$y=1+\frac{1}{x}$$

Строим в каждом квадранте свою гиперболу:

К пункту е)