Введение в параметры – 3

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 4.

Постойте графики следующих уравнений:

а) $\frac{x^2 + y^2}{2} = \mid x \mid - \mid y \mid +3,5$;

б) $\mid 2x – y \mid = \mid 2x +3y\mid$;

в) $\sqrt{(x -2)(y +3)} = \sqrt{2 –x}\sqrt{-y-3}$;

Решение.

Строим а). Преобразуем:

$$x^2 + y^2= 2\mid x \mid -2 \mid y \mid +7$$

$$x^2  - 2\mid x \mid +1+y^2 + 2\mid y \mid +1=9$$

$$(\mid x \mid-1)^2+(\mid y \mid+1)^2=3^2$$

Получили уравнение, которое задает 4 симметричных части одной окружности, каждая из которых расположена в своем квадранте. Например, если снять модули с плюсом – а это означает, что мы рассматриваем первый квадрант – получим уравнение окружности

$$(x-1)^2+(y+1)^2=3^2$$

Ее центр находится в точке $(1; -1)$, радиус равен трем. В остальные квадранты полученную в первой четверти часть просто отразим – относительно обеих осей. И выйдет:

К задаче 4, а)

Строим б).

$$\mid 2x – y \mid = \mid 2x +3y\mid$$

Приравниваем к нулю оба подмодульных выражения:

$$2x – y=0$$

$$y=2x$$

И

$$2x+3y=0$$

$$y=-\frac{2x}{3}$$

Если построить обе прямые, они нам разделят координатную плоскость на 4 области. В каждой из полученных секторов знаки модулей будут сниматься по-разному. Чтобы определить, с какими знаками где снимать модули, необходимо выбрать в каждой области точку, и ее координаты подставить в исходное выражение.

Опорные прямые

Например, возьмем точку $A$ с координатами $(2; 1)$. Тогда первое подмодульное выражение $2x-y=2\cdot 2-1=4-1>0$, значит, первый модуль в «восточной» области снимется с «плюсом». Второе подмодульное выражение - $2x+3y=2\cdot 2+3>0$ - тоже положительно, следовательно, второй модуль также снимется с «плюсом». Теперь возьмем точку $B$ с координатами $(-1; 3)$. Первое подмодульное выражение $2x-y=2\cdot (-1)-3=-5<0$, значит, первый модуль в «северной» области снимется с «минусом». И так далее. Я указала знаки, с которыми нужно снимать модули во всех областях.

Знаки снятия модулей

Теперь для каждой области, снимая модули с указанными знаками, получаем уравнение, график которого надо будет построить в каждой области.

Восточная область, снимаем оба модуля с «плюсами»

$$2x-y=2x+3y$$

$$y=0$$

«Северная область» - получаем:

$$y-2x=2x+3y$$

$$-2y=4x$$

$$y=-2x$$

«Южная» область:

$$2x-y=-2x-3y$$

$$4x=-2y$$

$$y=-2x$$

И, наконец, «западная» область:

$$y-2x=-2x-3y$$

$$y=0$$

Строим то, что получилось:

Рыжие прямые - и есть график уравнения

Решаем в).

$$\sqrt{(x -2)(y +3)} = \sqrt{2 –x}\sqrt{-y-3}$$

Преобразуем:

$$\sqrt{(2-x)(-y -3)} = \sqrt{2 –x}\sqrt{-y-3}$$

$$-y-3\geqslant 0$$

$$y \leqslant -3$$

$$2 –x\geqslant 0$$

$$ x \leqslant 2$$

Это целая область, и координаты любой из точек из этой области превратят уравнение в верное равенство:

К пункту в)

Задача 5.

Изобразите на плоскости $xOy$ множество точек, удовлетворяющих системе неравенств

$$\begin{Bmatrix}{ y \leqslant –x^2 +2, }\\{x^2 + (y -2)^2 y \leqslant 4.}\end{matrix}$$

Решение. Первая область – множество точек, ординаты которых меньше, чем ординаты точек параболы (область под параболой). Второе неравенство  - окружность и внутренность круга с координатами центра $(0; 2)$ и радиусом 2. Так как это система неравенств, то нужна область, удовлетворяющая обоим – она закрашена бежевым на рисунке. Строим:

К задаче 5