Введение в параметры - 2

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 3.

С помощью преобразований графиков постройте графики следующих функций:

а) $y = \mid x^2 – 3\mid x \mid -2 \mid$;

б) $y = \mid \frac{1}{\mid x \mid -2x +2} \mid$;

в) $y = \frac{3 – 2x}{1 –x}$;

г) $y = - \sqrt{8 – 2\mid x \mid – x^2}$;

д) $y = \mid 2 - \mid 1 – 2x \mid \mid$.

Решаем а). Построим график функции $y=x^2-3x-2$. Это обыкновенная парабола, ветвями вверх. Координаты вершины $x_0=1,5$, $y_0=-4,25$.

Этап построения 1 - строим параболу

Теперь наложим модуль на $x$:

$$y=\mid x \mid^2-3\mid x \mid -2$$

Такая операция отражает всю правую часть параболы налево (относительно оси $y$, как в зеркале).

Этап 2 - отражаем относительно вертикальной оси

А теперь наложим внешний модуль, на всю функцию:

Этап 3 - отражаем вверх все точки, которые имеют отрицательную ординату.

Он отражает все, что оказалось под осью $x$ симметрично наверх.

Решаем б). При $x\geqslant 0$ модуль снимаем с положительным знаком, получим

$$y=\frac{1}{2-x}$$

Это гипербола (ее кусок).

При $x<0$ получим:

$$y=\frac{1}{2-3x}$$

Это тоже гипербола, но у нее другой коэффициент. Строим в правой полуплоскости первую, в левой – вторую.

Для пункта б)

И накладываем внешний модуль:

Для пункта б) - окончание построения.

Решаем в). Преобразуем выражение:

$$y = \frac{3 – 2x}{1 –x}= \frac{2 – 2x+1}{1 –x}=2+\frac{1}{1-x}$$

Имеем гиперболу, которая смещена вправо на 1 – на это указывает $1-x$, имеет отрицательный коэффициент, и сдвинута вверх по оси $y$ на 2 единицы. То есть, если строить, поэтапно преобразуя график, то сначала нужно построить гиперболу $y=-\frac{1}{x}$, затем подвинуть ее вправо на 1 и получим $y=\frac{1}{1-x}$, и затем подняли на 2 вверх.

Для пункта в)

Решаем г). Преобразуем:

$$ y = - \sqrt{8 – 2\mid x \mid – x^2}=  - \sqrt{-1 – 2\mid x \mid – x^2+9}=  - \sqrt{-(1+ \mid x \mid)^2 +9}=- \sqrt{9-(1+ \mid x \mid)^2}$$

Если возвести в квадрат, то получим

$$y^2=9-(1+ \mid x \mid)^2$$

$$(1+ \mid x \mid)^2+ y^2=9$$

Получили уравнение окружности. Даже двух окружностей – потому что точке с некоторой координатой $y$ соответствуют две точки с координатами $x$ и $-x$. Эти две окружности – или их части – будут симметричны относительно оси $y$. Но, так как есть корень, то не вся окружность будет присутствовать. Сейчас будем разбираться, какая часть будет видима. У обеих окружностей радиус равен трем.

Базовая окружность

Так как после извлечения корня получаем положительное число, то $-y \geqslant 0$. Можно нарисовать ту часть окружности, что в первом квадранте. Так как перед корнем  - минус, то эту нарисованную часть надо отразить вниз, под ось $x$. А теперь отразить еще раз – относительно оси $y$. Вот что получится:

Две окружности - с учетом модуля (это этап построения, нас интересуют только части окружностей, см. следующий рисунок)

Выделили часть в первом квадранте и отразили относительно оси y.

Получаем в итоге:

Решаем д). Строим поэтапно, сначала - $y=1-2x$

Первый этап - прямая

Затем - $y=\mid 1-2x \mid$

Второй этап - модуль

Переворачиваем – добавляем минус: $y=-\mid 1-2x \mid$

Третий этап - перевернули

Поднимаем на две единицы: $y=2-\mid 1-2x \mid$

Четвертый этап - поднимаем на 2 единицы

Накладываем внешний модуль: $y=\mid  2-\mid 1-2x \mid  \mid$

И, наконец, отражаем вверх все, что ниже оси x