Введение в параметры - 1

Задачи от ученика 10 класса, который учится в ЗФТШ. Тем, кто изучает параметры – очень хорошо!

Задача 1.

Постройте графики следующих функций:

а) $y = \mid x \mid + \frac{x}{2}$;

б) $y = \frac{\mid x \mid}{x^2}$;

в) $y = \frac{1 – x^2}{\mid x \mid -1}$;

г) $y = 2 - \frac{\mid x \mid}{2}$.

Решение. Решаем а).

При $x\geqslant 0$ модуль снимаем с положительным знаком, получим

$$y= x + \frac{x}{2}=1,5x$$

Если снимаем с отрицательным  (при $x<0$), то

$$y= -x + \frac{x}{2}=-0,5x$$

Значит, в правой полуплоскости построим одну прямую, в левой – другую:

К пункту а)

Решаем б).

При $x\geqslant 0$ модуль снимаем с положительным знаком, получим

$$y= \frac{x}{x^2}=\frac{1}{x}$$

Если снимаем с отрицательным (при $x<0$), то

$$y= \frac{-x}{x^2}=-\frac{1}{x}$$

Значит, в правой полуплоскости построим одну гиперболу, в левой – другую:

К пункту б)

Решаем в).

При $x\geqslant 0$ модуль снимаем с положительным знаком, получим

$$y= \frac{1-x^2}{x-1}=-1-x$$

Если снимаем с отрицательным (при $x<0$), то

$$y= \frac{(1-x)(1+x)}{-x-1}=x-1$$

Опять получили две прямые:

К пункту в)

Будьте аккуратны, не забудьте про ОДЗ! В этом случае $x \neq 1$, $x \neq -1$.

Решаем г).

При $x\geqslant 0$ модуль снимаем с положительным знаком, получим

$$y= 2-\frac{x}{2}$$

Если снимаем с отрицательным (при $x<0$), то

$$y=2+ \frac{x}{2}$$

Строим, каждая прямая живет в своей полуплоскости:

К пункту г)

Задача 2.

Постройте графики функций:

а) $y = \frac{\frac{1}{x} – x}{x-1}$;

б) $y = \begin{Bmatrix}{ \frac{1}{1 –x}, 0 \leqslant x  \leqslant 2, }\\{-x +1, x \in (-\infty; 0) \cup (2; \infty)}\end{matrix}$

Решаем а).

Преобразуем выражение, получим

$$y= \frac{\frac{1}{x} – x}{x-1}=\frac{\frac{1-x^2}{x}}{x-1}=\frac{1-x^2}{x(x-1)}=-\frac{1+x}{x}=-1-\frac{1}{x}$$

Это гипербола, коэффициент $k=-1$, да она еще и сдвинута на 1 единицу вниз по оси $y$ (точка 1 должна быть выколотой, это не помечено на рисунке):

К пункту а)

Решаем б)

В области, где $x>2$ и там, где $x<0$, существует прямая, а в области

$0\leqslant x \leqslant 2$ живет гипербола.

К пункту б)