Уравнение с параметром

В этой задаче надо найти такие значения параметра, при которых уравнение будет иметь одно решение. А уравнение квадратное, но присутствует и дробь, поэтому может так случиться, что один из корней совпадет с корнем знаменателя и таким образом станет посторонним. Поэтому такой случай, кроме нулевого дискриминанта, надо обязательно предусмотреть.

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$\frac{x-2a}{x+2} +\frac{x-1}{x-a}=1$$

имеет одно решение?

Приведем к общему знаменателю обе дроби и правую часть:

$$\frac{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)}{ (x+2)(x-a)}=0$$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель – нет. Поэтому равносильна система:

$$\begin{Bmatrix}{(x-2a)(x-a)+(x-1)(x+2)-(x+2)(x-a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-xa-2ax+2a^2+x^2+2x-x-2-(x^2+2x-xa-2a)=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-2ax-x +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2-x(2a+1) +2a^2+2a-2=0}\\{a \neq -2}\\{a \neq x}\end{matrix}$$

Получили квадратное уравнение относительно $x$, и оно будет иметь одно решение, если его дискриминант будет равен $0$:

$$D=(2a+1)^2-4(2a^2+2a-2)=4a^2+4a+1-8a^2-8a+8=-4a^2-4a+9=0$$

$$4a^2+4a-9=0$$

$$D=16+16\cdot9=160$$

$$a_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8}=-0,5\pm0,5\sqrt{10}$$

При  полученных значениях параметра  уравнение имеет одно решение. Определим его, чтобы убедиться, что оно не совпадает с $a$ и $-2$:

$$x=\frac{2a+1}{2}$$

Выражение такое простое, так как это вершина параболы. Подставим $a$:

$$x=\pm \frac{\sqrt{10}}{2}$$

Это значение не равно $a$, и не равно $-2$, следовательно, параметр $a=-0,5\pm0,5\sqrt{10}$ берем в ответ.

Но вдруг уравнение имеет два корня, но просто один из них либо равен $a$, либо $-2$? Проверим это предположение простой подстановкой:

$$x=-2$$

Тогда:

$$ (-2)^2+4a+2 +2a^2+2a-2=0$$

$$ 4+6a +2a^2=0$$

$$ a^2+3a +2 =0$$

Тогда $a_1=-2$, или $a_2=-1$.

Если $x_1=-2$, то второй (сумма корней равна $2a+1$) $x_2=2a+1-(-2)=2a+3$.

Подставим найденные значения параметра: $x_1(-2)=-4+3=-1$, или $x_1(-1)=1$

Таким образом, при принятом $x=-2$ получили полностью устраивающие нас $a_1=-1$ и $a_2=1$.

Теперь примем $x=a$. Тогда:

$$a^2-2a^2-2a+2a^2+2a-2=0$$

$$a^2+a-2=0$$

$$a_3=1$$

$$a_4=-2$$

Последнее значение уже мелькало и было нами проверено. Если $x_1=a$, то второй (сумма корней равна $2a+1$) $x_2=2a+1-a=a+1$.

При $a=1$ $x=1+1=2$, что не равно $a$.

Ответ: $a \in \{-1\}; \{1\}; \{-2\}; \{-0,5\pm0,5\sqrt{10}\}$