Тригонометрия и свойства функций в задачах с параметром

Есть разные способы решать задачи с параметром. Самый наглядный - графический, но он не везде применим. Хорош и аналитический способ - но в этой задаче две совершенно разные функции, и это наталкивает на применение свойств функций.

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} -\cos(2x+a)=x^2-8x-a$$

имеет одно решение?

Обратим внимание на то, что в уравнении одновременно присутствуют несколько разного вида функций: и квадратичная, и тригонометрическая. Когда перед нами такое сочетание несочитаемого, это должно наталкивать на мысль о применении свойств функций. Имеем два косинуса, под знаками которых разные выражения. Нельзя ли и справа получить два таких же выражения?

Перепишем тогда таким образом, чтобы при $x^2$ получился бы коэффициент $-\frac{2}{3}$:

$$-\frac{2}{3}\cos{\frac{10x-2x^2-a}{3}} +\frac{2}{3}\cos(2x+a)= -\frac{2}{3}(x^2-8x-a)$$

$$-\frac{2}{3}\cos{\frac{10x}{3}-\frac{2x^2}{3}-\frac{a}{3}} +\frac{2}{3}\cos(2x+a)= -\frac{2 x^2}{3}+\frac{16x}{3}-\frac{2a}{3}$$

Заметим следующее: под знаками косинусов $-\frac{a}{3}$ и $a$, а справа - $-\frac{2a}{3}$ (сумма, взятая с обратным знаком), аналогично слева $\frac{10x}{3}$ и $2x$, а справа - $\frac{16x}{3}$ - опять сумма с обратным знаком! То есть (вот это действительно трудный переход – его трудно заметить)

$$\frac{2}{3}\cos(2x+a)-(2x+a)= \frac{2}{3}\cos{-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}}-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}$$

То, что мы получили, уже прорыв, но еще не победа. Будьте внимательны: справа имеем сумму, а слева – разность. В идеале, чтобы ввести функцию, выражения и справа и слева должны быть идентичны и отличаться только аргументами. Поэтому воспользуемся четностью функции косинуса:

$$\frac{2}{3}\cos(-2x-a)+(-2x-a)= \frac{2}{3}\cos{-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}}-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}$$

Вот теперь у нас полный порядок! Выражения справа и слева отличаются только аргументами. Введем функцию:

$$g(u)=\frac{2}{3}\cos u+u$$

Производная этой функции в силу ограниченности тригонометрических функций положительна:

$$g’(u)= -\frac{2}{3}\sin u+1$$

То есть функция такая монотонно возрастает, и, что важно, непрерывна. Следовательно, в каждой точке принимает единственное значение, и тогда аргументы равны:

$$-2x-a=-\frac{2x^2}{3}+\frac{10x}{3}-\frac{a}{3}$$

Преобразуем это квадратное уравнение относительно $x$:

$$2x^2-16x-2a=0$$

$$x^2-8x-a=0$$

Квадратное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант его равен $0$:

$$D=64+4a=0$$

$$a=-16$$

Ответ: $a=-16$.