Тригонометрические уравнения с параметром - 3

Решим несколько задач с параметрами. Все эти задачи будут тригонометрическими уравнениями с параметрами.

Задача 1. Решите уравнение:

$$\mid \sin x \mid =2-a$$

Так как $\sin x$ функция ограниченная, то правая часть изменяется от 0 до 1. Переберем все возможные значения $a$.

При $a=2$ имеем

$$\sin x=0$$

У этого уравнения решение $x=\pi n,\ \ \ \ n \in Z$.

При $a \in (1;2)$ модуль синуса меньше 1, и имеем

$$\mid \sin x \mid=2-a$$

$$ x = \arcsin(2-a) +\pi n$$

Или

$$ x =\pi n -\arcsin(2-a)$$

При $a=1$ имеем

$$\mid \sin x \mid=1$$

Решение - $x=\frac{\pi}{2}+\pi n$.

При $a \in (-\infty;\ \ \ \ 1)$ решений нет по причине ограниченности синуса, при $a \in (2;\ \ \ \  \infty)$ - аналогично нет решений.

 

Задача 2. Решите уравнение:

$$\mid \cos 2x \mid =a^2-2a$$

Так как $\cos x$ функция ограниченная, то правая часть изменяется от 0 до 1:

$$0\leqslant a^2-2a\leqslant 1$$

Переберем $a$: если $a=0$ или $a=2$, то правая часть – ноль и решение

$$\cos 2x=0$$

$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}, \ \ \ \ n \in Z$$

Если

$$ a^2-2a\leqslant 1$$

$$ a^2-2a-1\leqslant 0$$

То $a \in [1-\sqrt{2};\ \ \ \ 1+\sqrt{2}]$. Если же

$$ a^2-2a\geqslant 0$$

То $a \in (-\infty;\ \ \ \ 0]\cup [2;\ \ \ \ \infty)$

Так как эти два неравенства – система, нужно найти общее решение обоих: $a \in [1-\sqrt{2};\ \ \ \ 0]\cup [2;\ \ \ \1+\sqrt{2}]$. При таких $a$ решение уравнения $x = \frac{\arccos (a^2-2a)}{2}+\frac{\pi n}{2}$ или $x=-\frac{\arccos(a^2-2a)}{2}+\frac{\pi n}{2}$.

 

Задача 3. Решите уравнение:

$$a\sin x=\operatorname{tg} x$$

Преобразуем:

$$a\sin x=\frac{\sin x}{\cos x}$$

$$\sin x\left(a-\frac{1}{\cos x}\right)=0$$

Если $\sin x=0$, то $x=\pi n, \ \ n \in Z$. Либо

$$ a-\frac{1}{\cos x}=0$$

$$\cos x=\frac{1}{a}$$

Тогда, если $a=-1$ - $x=-\pi+2\pi k$.
Если $a \in (-1;\ \ \ \0)$ - нет решений из-за ограниченности косинуса.

Если $a \in (0;\ \ \ \1)$ - нет решений из-за ограниченности косинуса.

$a$ не может быть равно $0$.

При всех остальных $a$ решения есть: $x=\arccos \frac{1}{a}+2\pi n, \ \ n \in Z$, $x=-\arccos \frac{1}{a}+2\pi n, \ \ n \in Z$.

 

Задача 4. Решите уравнение:

$$\sin x +\cos x=a$$

Воспользуемся дополнительным углом:

$$\frac{\sqrt{2}}{2}\sin x +\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot a$$

Тогда перепишем:

$$\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{a}{\sqrt{2}}$$

При неотрицательных $a$:

$$x+\frac{\pi}{4}=\arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)+2\pi n$$

$$x=\arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)- \frac{\pi}{4}+2\pi n$$

Наложим ограничения:

$$-1\leqslant \frac{a}{\sqrt{2}}\leqslant 1$$

$$-\sqrt{2}\leqslant a \leqslant \sqrt{2}$$

При отрицательных $a$

$$x+\frac{\pi}{4}=\pi-\arcsin\left(\frac{\mid a \mid}{\sqrt{2}}\right)+2\pi n$$

$$x=\pi-\arcsin\left(\frac{\mid a \mid}{\sqrt{2}}\right)- \frac{\pi}{4}+2\pi n$$

Ответ: при $-\sqrt{2}\leqslant a \leqslant \sqrt{2}$ для неотрицательных $a$ $x=\arcsin\left(\frac{a}{\sqrt{2}}\right)- \frac{\pi}{4}+2\pi n$ или, при $a<0$,

$x=\pi-\arcsin\left(\frac{\mid a \mid}{\sqrt{2}}\right)- \frac{\pi}{4}+2\pi n$

 

 

Задача 5. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение:

$$\sin^4 x+\cos^4 x+\sin 2x=a$$

имеет решения.

Преобразуем:

$$\sin^4 x+ 2\cos^2 x\sin^2 x+\cos^4 x+\sin 2x-2\cos^2 x\sin^2 x =a$$

$$(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-\frac{\sin^2 2x}{2}+\sin 2x=a$$

$$1-\frac{\sin^2 2x}{2}+\sin 2x=a$$

Введем замену:

$$t=\sin 2x; -1\leqslant t \leqslant 1$$

Тогда

$$\frac{1}{2}t^2-t+a-1=0$$

Определим дискриминант:

$$D=1-4\cdot(a-1)\cdot \frac{1}{2}$$

$$D=1-2a+2=3-2a$$

При $D<0$ решений нет:

$$3-2a<0$$

$$2a>3$$

$$a>1,5$$

При $D=0$ имеем один корень:

$$a=1,5$$

$$\frac{1}{2}t^2-t+0,5=0$$

$$t=1$$

Или $\sin 2x=1$, $x=\frac{\pi}{4}+\pi n$.

Если же $D>0$, будет два корня:

$$3-2a>0$$

$$a<1,5$$

Так как парабола у нас ветвями вверх, то для $f(t)= \frac{1}{2}t^2-t+a-1$ должно выполняться:

$$f(1)\geqslant 0$$

$$f(-1)\geqslant 0$$

Вершина параболы между (-1) и (1):

$$-1\leqslant -\frac{b}{2a}\leqslant 1$$

Оказывается, вершина параболы находится в точке 1. Тогда

$$ f(-1)\geqslant 0$$

$$\frac{1}{2}\cdot (-1)^2+1+a-1\geqslant 0$$

$$a\geqslant -\frac{1}{2}$$

Ответ: $a \in [-\frac{1}{2};\ \ \ \ \frac{3}{2}]$