Тригонометрические уравнения с параметром - 2

Задача 1.

При каких значениях параметра $a$ множества решений уравнений $4\cos^2 x=a^2-6$ и $1-\cos 2x=\frac{a}{6}$ совпадают?

Решение. Рассмотрим первое уравнение.

$$4\cos^2 x-2=a^2-8$$

$$2\cos 2x=a^2-8$$

$$\cos 2x=\frac{a^2-8}{2}$$

Рассмотрим второе уравнение.

$$\cos 2x=1-\frac{a}{6}$$

Приравняем правые части при равных левых:

$$\frac{a^2-8}{2}=1-\frac{a}{6}$$

$$a^2-8=2-\frac{a}{3}$$

$$a^2-10+\frac{a}{3}=0$$

$$D=\frac{361}{9}$$

Корни $a=3$, $a=-\frac{10}{3}$. Это – претенденты на ответы. Их надо обязательно проверить.

Если у уравнений нет решений – это тоже совпадение. Поэтому определим, когда решений нет.

$$1-\frac{a}{6}>1$$

$$a<0$$

Или

$$1-\frac{a}{6}<-1$$

$$-\frac{a}{6}<-2$$

$$\frac{a}{6}>2$$

$$a>12$$

Или же при

$$\frac{a^2-8}{2}>1$$

$$a^2>10$$

$$a \in (-\infty; -\sqrt{10})\cup (\sqrt{10};\infty)$$

И еще при

$$\frac{a^2-8}{2}<-1$$

$$a^2<6$$

$$a \in (-\sqrt{6}; \sqrt{6})$$

То есть у уравнений нет решений при $a \in (-\infty; -\sqrt{10})\cup (-\sqrt{6}; 0) \cup (12;\infty)$, есть одно и то же решение при $a=3$.  Корень $-\frac{10}{3}$ оказался посторонним – он меньше, чем $-\sqrt{10}$. Даем окончательный ответ:

$a \in (-\infty; -\sqrt{10})\cup (-\sqrt{6}; 0)\cup \{3\} \cup (12;\infty)$.

 

Задача 2.

При каких значениях параметра $a$ число $\pi$ является периодом функции $f(x)=\frac{\sin x}{a-\cos x}$?

Решение. Если $\pi$ - период, то $f(x)=f(x+\pi)$:

$$\frac{\sin x}{a-\cos x}=\frac{\sin (x+\pi)}{a-\cos (x+\pi)}$$

$$\frac{\sin x}{a-\cos x}=\frac{-\sin x}{a+\cos x}$$

То есть

$$a-\cos x=-a-\cos x$$

Откуда $a=0$. Если так, то $f(x)=-\operatorname{tg} x$, а у этой функции период как раз $\pi$.

Ответ: $a=0$.

 

Задача 3.

При каких значениях параметра $a$ число $\frac{\pi}{2}$ является периодом функции $f(x)=\frac{\cos 2x}{3a+\sin 2x}$?

Решение. Пусть $f(t)= \frac{\cos t}{3a+\sin t}$, $t=2x$. Если у функции $f(x)$ период $\pi$, то у фунции $f(2x)$ период $\frac{\pi}{2}$. А хорошо видно, что при $a=0$ функция представляет собой котангенс, у которого период как раз $\pi$.

Ответ: $a=0$.

 

Задача 4.

Найдите все пары чисел, при которых равенство $\sin (ax+b)=a\sin x+b$ выполнено при всех вещественных $x$.

Решение. Если равенство выполняется при всех $x$, то и при $x=0$ тоже. Тогда

$$\sin (a\cdot 0+b)=a\sin 0+b$$

$$\sin b=b$$

Это имеет решение при $b=0$. Если так, то

$$\sin ax=a\sin x$$

Тогда $\mid a \mid \leqslant 1$.

Подставим другой $x$, например, $x=\pi$, для него тоже все должно быть хорошо:

$$\sin a\pi=a\sin \pi=0$$

$$\sin a\pi=0$$

$$a\pi=\pi n$$

$$a=n$$

Но $\mid a \mid \leqslant 1$, поэтому $n=-1; n=1, n=0$.

Ответ: $a=0, a=-1, a=1$. Пары чисел тогда такие: $a=0, x=0$, $a=-1; x=0$, $a=1, x=0$.

 

Задача 5.

Найдите все пары чисел, при которых равенство $a(\cos x-1)+b^2=\cos (ax+b^2)-1$ выполнено при всех вещественных $x$.

Решение. Опять возьмем какое-то любое число, раз для всех равенство выполняется. Например, $x=2\pi$.

$$a(\cos 2\pi-1)+b^2=\cos (2\pi a+b^2)-1$$

$$b^2=\cos (2\pi a+b^2)-1$$

Так как косинус ограничен и принимает наибольшее значение 1, то правая часть либо ноль, либо отрицательное число, тогда как левая – положительное! Значит, равенство возможно, если и справа ноль, и слева, тогда $b=0$. Имеем

$$a(\cos x-1)=\cos (ax)-1$$

и

$$\cos 2 a \pi-1=0$$

$$\cos 2 a \pi=1$$

$$2 a \pi =2\pi n$$

$$a=n$$

В $a(\cos x-1)=\cos (ax)-1$ правая часть лежит в пределах $[-2;0]$, поэтому $0\leqslant a \leqslant 2$, тогда $a=0, a=1, a=2$. Проверяем: ноль подходит, единица тоже. Это видно при подстановке сюда:

$$a(\cos x-1)=\cos (ax)-1$$

$a=2$ не подходит, можно проверить с любым $x$.

Ответ: $a=0, x=0$ и $a=1, x=0$.