Тригонометрические уравнения с параметром - 1

Задача 1.

При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin 2x(\sin2x-1)=0$ и $(a+3)\sin^2 2x-\sin 2x\cdot \cos 4x-(a+4)\sin 2x=0$ равносильны?

Решение. Первое уравнение имеет корни, даваемые при решении уравнений $\sin 2x=0$ и $\sin 2x=1$. Мы их запишем и отложим пока, не будем решать. А посмотрим, какие решения у второго уравнения.

$$\sin 2x\left((a+3)\sin 2x-\cos 4x-a-4\right)=0$$

Вот уже можно сделать вывод, что есть решения от уравнения $\sin 2x=0$, совпадающие с решениями первого уравнения.

$$(a+3)\sin 2x-(1-2\sin^2 2x)-a-4=0$$

$$(a+3)\sin 2x-1+2\sin^2 2x-a-4=0$$

$$2\sin^2 2x+(a+3)\sin 2x-a-5=0$$

Корни

$$\sin 2x=\frac{-a-3\pm \sqrt{(a+3)^2+4\cdot2(a+5)}}{4}$$

$$\sin 2x=\frac{-a-3\pm \sqrt{a^2+14a+49}}{4}$$

$$\sin 2x=\frac{-a-3\pm \mid a+7\mid}{4}$$

Либо

$$\sin 2x=1$$

(попали в точку, такие же корни у первого уравнения)

Либо

$$\sin 2x=-\frac{a+5}{2}$$

И вот корни этого уравнения должны либо отсутствовать, либо быть такими же, как и у первого уравнения. Потому что для равносильности корни обоих уравнений должны полностью совпадать. То есть должно быть или

$$-\frac{a+5}{2}=0\ \ \ \ \ \ \ \(1)$$

Или

$$-\frac{a+5}{2}=1\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Или

$$-\frac{a+5}{2}>1\ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

$$-\frac{a+5}{2}<-1\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Решение (1) - $a=-5$. Решение (2) - $a=-7$.

Решение (3):

$$-(a+5)>2$$

$$-a>7$$

$$a<-7$$

Решение (4):

$$\frac{a+5}{2}>1$$

$$a+5>2$$

$$a>-3$$

В итоге ответ: $a \in (-\infty; -7]\cup \{-5\}\cup (-3;+\infty)$.

 

Задача 2.

При каких значениях параметра $a$ уравнения $\sin x=2\sin^2 x$ и $\sin 3x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x$ равносильны?

Решение. Первое уравнение имеет корни, даваемые при решении уравнений $\sin x=0$ и $\sin x=\frac{1}{2}$. Мы их запишем и отложим пока, не будем решать. А посмотрим, какие решения у второго уравнения.

$$3\sin x-4\sin^3 x=(a+1)\sin x-2(a-1)\sin^2 x $$

$$\sin x(4\sin^2 x-3+a+1-2(a-1)\sin x)=0$$

Вот уже можно сделать вывод, что есть решения от уравнения $\sin x=0$, совпадающие с решениями первого уравнения.

$$4\sin^2 x-2+a- (2a-2)\sin x =0$$

$$4\sin^2 x - (2a-2)\sin x +a -2=0$$

$$D=(2a-2)^2-4\cdot 4(a-2)=4a^2-8a+4-16a+32=4a^2-24a+36=4(a-3)^2$$

Корни

$$\sin x=\frac{2a-2\pm \mid 2(a-3)\mid}{8}=\frac{a-1\pm \mid a-3 \mid}{4}$$

Либо

$$\sin x=\frac{1}{2}$$

(это хорошо, это совпадает с корнями первого уравнения).

Либо

$$\sin x=\frac{a}{2}-1$$

И вот у этого уравнения корни должны либо отсутствовать, либо тоже совпадать с корнями первого уравнения.

То есть должно быть или

$$\frac{a}{2}-1=0\ \ \ \ \ \ \ \ (1)$$

Или

$$\frac{a}{2}-1=\frac{1}{2}\ \ \ \ \ \ \ \ (2)$$

Или

$$\frac{a}{2}-1>1\ \ \ \ \ \ \ \ (3)$$

$$\frac{a}{2}-1<-1\ \ \ \ \ \ \ \ (4)$$

Решение (1) - $a=2$. Решение (2) - $a=3$.

Решение (3):

$$\frac{a}{2}>2$$

$$a>4$$

Решение (4):

$$\frac{a}{2}-1<-1$$

$$\frac{a}{2}<0$$

$$a<0$$

В итоге ответ: $a \in (-\infty; 0)\cup \{2;3\}\cup (4;+\infty)$.

 

Задача 3.

При каких значениях параметра $a$ уравнения $4\cos^2 x-\cos 3x=a\cos x-(a-4)(1+\cos 2x)$ и $2\cos x\cdot \cos 2x=1+\cos 2x+\cos 3x$ равносильны?

Решение.

$$2\cos x(2\cos^2 x-1)=1+2\cos^2 x -1+4\cos^3 x-3\cos x $$

$$-2\cos x=2\cos^2 x-3\cos x$$

$$2\cos^2 x-\cos x=0$$

$$\cos x (2\cos x-1)=0$$

Первое уравнение распадается на два: $\cos x=0$ и $\cos x=\frac{1}{2}$. Теперь займемся вторым:

$$4\cos^2 x-4\cos^3 x+3\cos x=a\cos x-(a-4)-(a-4)(2\cos^2 x-1)$$

$$4\cos^2 x-4\cos^3 x+3\cos x=a\cos x-a+4-(2a\cos^2 x-a-8\cos^2 x+4)$$

$$4\cos^2 x-4\cos^3 x+3\cos x=a\cos x-a-2a\cos^2 x+a+8\cos^2 x$$

$$-4\cos^2 x-4\cos^3 x+3\cos x-a\cos x+2a\cos^2 x=0$$

$$4\cos^2 x+4\cos^3 x-3\cos x+a\cos x-2a\cos^2 x=0$$

Получаем первое решение - $\cos x=0$.

$$4\cos^2 x+4\cos x-2a\cos x-3+a=0$$

$$4\cos^2 x+\cos x(4-2a) +a-3=0$$

$$D=(4-2a)^2-4\cdot 4(a-3)=16-16a+4a^2-16a+48=4a^2-32a+64$$

$$D=4(a-4)^2$$

Корни

$$\cos x=\frac{2a-4\pm 2\mid a-4\mid}{8}$$

Либо

$$\cos x=\frac{a}{2}-1,5$$

Либо

$$\cos x=\frac{1}{2}$$

Второе решение совпало с первым уравнением. А первое должно быть либо без решений, либо его решения должны совпасть с ранее полученными у первого уравнения. Тогда или

$$\frac{a}{2}-1,5>1$$

$$a-3>2$$

$$a>5$$

Или

$$\frac{a}{2}-1,5<-1$$

$$\frac{a}{2}<\frac{1}{2}$$

$$a<1$$

Или

$$\frac{a}{2}-1,5=0$$

$$a=3$$

$$\frac{a}{2}-1,5=0,5$$

$$a=4$$

Ответ: $a \in (-\infty; 1)\cup \{3;4\}\cup (5;+\infty)$.