Тригонометрические уравнения с параметром

Задачи с параметром – наиболее сложные, но зато и самые интересные. Решение такой задачи – всегда исследование, всегда приключение. Тогда вперед, к приключениям!

Задача 1.

Найдите все значения параметра $q$, при каждом из которых уравнение

$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-(q^2-9q)( (\operatorname{tg} {a}+2)-9q^3=0$$

Относительно величины $a$ имеет ровно 89 решений на полуинтервале $[0; 89\pi)$.

В этом задании сразу понятно, что имеем корень на каждом полукруге, то есть тригонометрическая функция должна иметь два корня на полном обороте, или на $2\pi$, то есть тангенс принимает единственное значение. Следовательно, квадратное уравнение должно иметь одно решение, а так будет, например, если $D=0$. Проверяем эту версию.

$$D=(q^2-9q)^2+4\cdot 9q^3$$

$$D=q^2(q-9)^2+36q^3=q^2((q-9)^2+36q)=q^2(q^2-18q+81+36q)=q^2(q^2+18q+81)=q^2(q+9)^2$$

$$ q^2(q+9)^2=0$$

Таким образом, значения параметра $q=0$ и $q=-9$.

Теперь эти значения параметра необходимо проверить: подставим их в исходное уравнение. Подставляем $q=0$:

$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2=0$$

$$\operatorname{tg} {a}=-2$$

Значение параметра $q=0$ подходит, подставим $q=-9$:

$$(\operatorname{tg} {a}+2)^2-((-9)^2+81)( (\operatorname{tg} {a}+2)+9^4=0$$

$$D=4\cdot9^4-4\cdot9^4=0$$

Это значение тоже подошло, исходное уравнение будет иметь единственный корень.

Ситуация, когда у уравнения два отрицательных корня, не равных друг другу, нам тоже могла бы подходить. В этом случае мы получили бы два различных значения тангенса, что нас и устроило бы. Но здесь корни не получаются отрицательными, так как один из них - квадрат, поэтому этот вариант отпадает.

Ответ: $q \in \{-9\} \cup \{0\}$.

Задача 2.

Найдите все значения параметра $\alpha$, при каждом из которых уравнение

$$(\operatorname{tg} {p}-6)^2-(\alpha^2-4\alpha+10)( (\operatorname{tg} {p}-6)-4\alpha^3+10\alpha^2=0$$

Относительно переменной  $p$ имеет ровно 120 решений на полуинтервале  $[0; 60\pi]$.

В данном случае на каждом обороте нужно иметь четыре решения, то есть функция тангенса будет принимать два значения. Следовательно, в этой задаче нам необходимо, чтобы дискриминант был положителен – только тогда квадратное уравнение будет иметь два корня.

$$D=(\alpha^2-4\alpha+10)^2-4\cdot (10\alpha^2-4\alpha^3)$$

$$D=(\alpha^2+(10-4\alpha))^2-4\alpha^2(10-4\alpha)$$

$$D=\alpha^4+2a^2(10-4\alpha)+(10-4\alpha)^2-4\alpha^2(10-4\alpha)$$

$$D=\alpha^4-2a^2(10-4\alpha)+(10-4\alpha)^2=(\alpha^2+4\alpha -10)^2$$

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

$$\alpha^2+4\alpha -10=0$$

$$D=16-4(-10)=56$$

$$\alpha_{1,2}=\frac{-4 \pm \sqrt{56}}{2}=-2 \pm \sqrt{14}$$

Снова вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.

Ответ: $\alpha \in (-\infty; -2 -\sqrt{14}) \cup (-2 -\sqrt{14};  -2 +\sqrt{14}) \cup (-2 +\sqrt{14}; +\infty)$.

Задача 3.

Найдите все значения параметра $j$, при каждом из которых уравнение

$$(\operatorname{tg} {\sigma}+10)^2-(j^2+3j+1)( (\operatorname{tg} {\sigma}+10)+j^2(3j+1)=0$$

относительно величины $\sigma$ имеет ровно 43 решения на отрезке $[0; \frac{85}{2}\pi]$.

Задача аналогична предыдущим. Предлагаю вам решить ее самостоятельно, а потом уже посмотреть решение.

Решение.

[spoiler]

Тангенс должен принимать два значения, чтобы на каждом обороте было бы 4 корня. Поэтому дискриминант должен быть положителен:

$$D=(j^2+3j+1)^2-4 j^2(3j+1)= (j^2+(3j+1))^2-4 j^2(3j+1)=j^4+2j^2(3j+1)^2+(3j+1)^2-4 j^2(3j+1)= $$

$$=j^4-2j^2(3j+1)^2+(3j+1)^2=(j^2-3j-1)^2$$

Видим, что дискриминант положителен, так как представляет собой полный квадрат. Вариант с двумя различными отрицательными корнями отпал.Поэтому уравнение будет всегда иметь два корня, за исключением случая, когда он равен нулю. Поэтому найдем точки, которые обращают дискриминант в ноль, и просто исключим их из решения:

$$j^2-3j-1=0$$

$$D=3^2-4(-1)=13$$

$$j_{1,2}=\frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}=1,5 \pm \frac{\sqrt{13}}{2}$$

Ответ: $j \in (-\infty; 1,5 -0,5\sqrt{13}) \cup (1,5 -0,5\sqrt{13};  1,5 +0,5\sqrt{13}) \cup (1,5 +0,5\sqrt{13}; +\infty)$.[spoiler]