Три системы с параметром

Три системы с параметрами, при решении которых потребовалось привлечь свойства функций, например, ограниченность и четность; идею симметрии, которая помогает определить количество корней; подбор корней; геометрическое определение значения параметра.

Задача 1.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{Bmatrix}{x^2-(2a+1)x+a^2-3=y}\\{y^2 –(2a+1)y+a^2-3=x}\end{matrix}$$

имеет одно решение?

Заметим, что оба уравнения очень друг на друга похожи. Заменой $x$ на $y$ можно получить из первого второе. То есть в задаче присутствует симметрия. Иначе говоря, можем написать, что если имеется решение $(x_0; y_0)$, то обязательно будет и решение $(y_0; x_0)$. У такой симметричной системы количество решений будет четным (если, конечно, два указанных решения не совпадают – тогда решение одно). Если $x=y$, то

$$ x^2-(2a+1)x+a^2-3=x$$

$$ x^2-(2a+2)x+a^2-3=0$$

Приравняем дискриминант к нулю, и тогда решение единственное:

$$\frac{D}{4}=(a+1)^2-a^2+3=0$$

$$a^2+2a+1-a^2+3=0$$

$$2a+4=0$$

$$a=-2$$

На этом этапе решения успокаиваться рано, надо еще проверить, действительно ли система будет иметь одно решение при найденном $a$, для этого подставим его в систему:

$$\begin{Bmatrix}{x^2-(-4+1)x+4-3=y}\\{y^2 –(-4+1)y+4-3=x}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x^2+3x+1=y}\\{y^2 +3y+1=x}\end{matrix}$$

Получили два симметричных уравнения, которые очень удобно вычесть друг из друга:

$$(x-y)(x+y)+3(x-y)=y-x$$

$$(x-y)(x+y+4)=0$$

Имеем, что или  $x=y$, или $ y=-x-4$

Подставляем первый случай в первое уравнение системы:

$$ x^2+3x+1=x$$

$$x^2+2x+1=0$$

$$x=y=-1$$

Теперь подставим $y=-x-4$ в первое уравнение системы:

$$ x^2+3x+1=-x-4$$

$$x^2+4x+5=0$$

Это уравнение решений не имеет.

В таком случае значение $a=-2$ нас устраивает.

Ответ: $a=-2$.

 

Задача 2.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+3a}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}$$

имеет единственное решение?

Обращаем внимание на то, что $x$ у нас присутствует или под знаком модуля, или в квадрате, то есть при замене $x$ на $-x$ ничего не изменится. А вот с $y$ такая замена не пройдет. Поэтому если есть решение $x_0$, то обязательно будет и решение $-x_0$. Если ввести функцию, то она будет четной. Четная функция имеет симметрично расположенные корни. Их количество может быть нечетным и четным: в последнем случае она не проходит через точку $x=0$.   Тогда, чтобы получить нечетное количество корней, приравняем $x$ к нулю, заставив таким образом функцию пройти через эту точку:

$$y^2=1$$

$$y= \pm 1$$

Тогда параметр найдем, подставив найденные $y$ в первое уравнение:

$$\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^0+4=3\cdot1+3a}\\{3 \cdot 2^0+4=3\cdot(-1)+3a }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{4=3a}\\{10=3a }\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{a=\frac{4}{3}}\\{a=\frac{10}{3} }\end{matrix}$$

Теперь снова надо проверить, подойдут ли найденные значения параметра!

Подставляем в исходную систему первое полученное значение:

$$\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+4}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} -x^2)}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}$$

Во втором уравнении содержатся ограничения на значения $x$ и $y$, а именно: обе переменных не превосходят 1 по модулю. Поэтому $1\leqslant 2^{\mid x \mid}\leqslant2$. Также $0\leqslant \mid x \mid -x^2\leqslant1$, и тогда

$0\leqslant \frac{5}{3}(\mid x \mid -x^2)\leqslant \frac{5}{3}$.  То есть получили, что

$$ y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} -x^2) \geqslant1$$

А нам известно, что наибольшее значение $y$ - это 1. То есть $y=1$, а $x=0$.

Первое значение параметра, таким образом, нас полностью устраивает: при $a=\frac{4}{3}$ имеем единственное решение.

Проверим второе значение параметра:

$$\begin{Bmatrix}{3 \cdot 2^{\mid x \mid}+5{\mid x \mid} +4=3y+5x^2+10}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{y=2^{\mid x \mid}+\frac{5}{3}({\mid x \mid} –x^2)-2}\\{x^2 +y^2=1}\end{matrix}$$

Решение этой системы довольно сложное, поэтому попробуем подобрать корни. Если $x=0$, то из второго $y=\pm 1$, а если $x=\pm 1$, то $y=0$ - это решение «всплывает» при попытке обнулить скобку $\mid x\mid –x^2$, которая нам мешает. Итак, при втором значении параметра имеем три решения, что нас совсем не устраивает. Поэтому ответ: $a=\frac{4}{3}$.

 

Задача 3.

При каких значениях параметра $a$ система уравнений

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= \mid x\mid (y+2)}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

имеет ровно три решения?

Имеем модуль $x$. Попробуем раскрыть его и посмотреть, что получится. При $x\geqslant 0$ получим:

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= x(y+2) }\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)- x(y+2)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2-y-2)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2-4)=0}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

Первое уравнение распадается:

$$\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+y^2= 4}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

Получили прямую $x=0$, полуокружность $x^2+y^2=2^2$ с центром в начале координат и радиусом 2, и прямую, наклоненную к оси $x$ на угол $45^{\circ}$.

При $x< 0$ получим:

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)= -x(y+2) }\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2)+x(y+2)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+y-2+y+2)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x(x^2+y^2+2y)=0 }\\{y=x+a}\end{matrix}$$

Второе уравнение распадается:

$$\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+(y^2+2y+1)= 1}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x=0}\\{x^2+(y+1)^2= 1}\\{y=x+a}\end{matrix}$$

Получили прямую $x=0$, полуокружность $x^2+(y+1)^2=1$ с центром в точке (0; -1) и радиусом 1, и прямую, наклоненную к оси $x$ на угол $45^{\circ}$.

Необходимо построить соответствующие элементы и найти такое значение параметра, при котором последняя прямая, положение которой зависит от параметра $a$, пересекала бы остальные элементы трижды.

На рисунке 1 видно, что нужные нам положения рыжей прямой начинаются при $a=-2\sqrt{2}$ (определяется как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $ABC$ с катетом 2), и при $a=-2$ снова будет два пересечения. Эти точки не войдут в решение.

После точки $-2$ снова имеем три пересечения. Три пересечения будет вплоть до $a=0$ (точка войдет в решение, так как пересечения тут три, это надо увидеть), затем, выше – 4 пересечения. Еще раз три пересечения встретятся только единожды: при касании прямой и малой полуокружности.

Определим значение параметра в этом случае. Это положение соответствует значению параметра $a=\sqrt{2}-1$ (гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника $FED$ с катетом 1,  за вычетом 1).

Ответ: $a \in (-2\sqrt{2}; -2) \cup (-2;0] \cup \{\sqrt{2}-1\}$.