Простая физика
Категория:
Параметры (18) ...Свойства функции в задачах с параметром
При решении этой задачи мы воспользуемся свойствами функции. Функцию можно исследовать на монотонность, именно монотонность функции нам и поможет в этой задаче. Также нужно помнить, что при введении замены нас уже не интересует "бывшая" переменная, и никакого ОДЗ уже не нужно определять. После замены нам важна уже новая переменная, именно на нее и накладываются условия.
Задача. Чему равно значение параметра $a$, при котором неравенство
$$\mid 3\sin x+a^2-22\mid+\mid7\sin x+a+12\mid \leqslant 11\sin x+\mid a^2+a-20\mid+11$$
выполняется всегда?
Введем замену: $t=\sin x $, $-1\leqslant t \leqslant 1$.
Перепишем:
$$\mid 3t+a^2-22\mid+\mid7t+a+12\mid – 11t-\mid a^2+a-20\mid-11\leqslant 0$$
Введем функцию:
$$f(t)=-\mid 3t+a^2-22\mid-\mid7t+a+12\mid + 11t+\mid a^2+a-20\mid+11\geqslant 0$$
Обратим внимание, что, как бы мы ни раскрыли модуль, все равно коэффициент при $x$ будет положителен, то есть функция монотонно возрастает. Поскольку новая переменная $t$ ограничена, то нужно, чтобы неравенство выполнялось на отрезке $[-1; 1]$. Так как значение функции в точке (-1) меньше, чем в точке 1, то потребуем, чтобы $f(-1)\geqslant 0$.
Монотонность функции
$$f(-1)=-\mid -3+a^2-22\mid-\mid-7+a+12\mid - 11+\mid a^2+a-20\mid+11\geqslant 0$$
$$f(-1)=-\mid a^2-25\mid-\mid a+5\mid +\mid a^2+a-20\mid \geqslant 0$$
Можно заметить, что сумма подмодульных выражений первых двух модулей равна третьему подмодульному выражению:
$$\mid a^2-25\mid+\mid a+5\mid \leqslant \mid a^2+a-20\mid $$
Это классическое неравенство: модуль суммы меньше либо равен сумме модулей. А у нас – наоборот! Поэтому ставим знак равно. Знак равно можно поставить тогда, когда как $ a^2-25$, так и $a+5$ - выражения одного знака. Чтобы потребовать, чтобы выражения были одного знака, надо потребовать, чтобы произведение было бы положительно:
$$(a^2-25)(a+5) \geqslant 0$$
$$(a-5)(a+5)^2 \geqslant 0$$
В точке (-5) изменения знака неравенства не произойдет – это корень четной кратности. Поэтому решение:
$$a \in \{-5\} \cup [5;+\infty)$$