Сложная задача с параметром

В этой интересной задаче сошлись как использование свойств функций, так и графические приемы решения. Даже в самом конце решения, при записи ответа, нужно подставлять значения $x$ в "правильное" неравенство, следя за тем, оказались ли мы выше или ниже разделительной прямой.

Задача. При каких значениях параметра $a$ неравенство

$$2^{\mid 9a+6x \mid+x^2-9} \leqslant \sqrt{\frac{9-x^2+a^2}{\mid 9a+6x \mid+a^2}}$$

имеет максимальное количество целых решений?

Рассмотрим правую часть неравенства. Под корнем дробь. Ее знаменатель положителен, следовательно, обязан быть положительным и числитель. Перепишем так:

$$2^{\mid 9a+6x \mid+a^2-(9-x^2+a^2)} \leqslant \sqrt{\frac{9-x^2+a^2}{\mid 9a+6x \mid+a^2}}$$

И разобьем корень на два корня, как и степень двойки:

$$\frac{2^{\mid 9a+6x \mid+a^2}}{2^{9-x^2+a^2}} \leqslant \frac{\sqrt {9-x^2+a^2}}{\sqrt {\mid 9a+6x \mid+a^2}}$$

Тогда:

$$2^{\mid 9a+6x \mid+a^2}\sqrt {\mid 9a+6x \mid+a^2} \leqslant 2^{9-x^2+a^2}\sqrt{9-x^2+a^2}$$

Видим, что справа и слева выражения похожи. Причем можно ввести функцию ($t>0$):

$$f(t)=2^t \sqrt{t}$$

Тогда и справа, и слева у нас одна и та же функция, но разные аргументы.

Такая функция является монотонно возрастающей, вне зависимости от аргумента, и непрерывной, потому что является произведением двух заведомо возрастающих функций. Поэтому если $f(t_1)\leqslant f(t_2)$, то $t_1 \leqslant  t_2$.

$$\mid 9a+6x \mid+a^2\leqslant 9-x^2+a^2$$

$$\mid 9a+6x \mid\leqslant 9-x^2$$

Раскрываем модуль: сначала приравняем к нулю подмодульное выражение.

$$9a+6x=0$$

$$a=-\frac{2x}{3}$$

Тогда при $ a \geqslant -\frac{2x}{3}$ имеем:

$$9a+6x\leqslant 9-x^2$$

$$ x^2+6x+9a-9 \leqslant 0 $$

А при $ a \leqslant -\frac{2x}{3}$ имеем:

$$-9a-6x\leqslant 9-x^2$$

$$ x^2-6x-9a-9 \leqslant 0 $$

Выделим $a$ в обоих случаях:

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ a \geqslant -\frac{2x}{3}}\\{a \leqslant \frac{9-x^2-6x}{9}}\end{matrix}}{\begin{Bmatrix}{ a < -\frac{2x}{3}}\\{a \geqslant \frac{x^2-6x-9}{9}}\end{matrix}}$$

Лучше всего решить эти два неравенства графически. Имеем прямую и параболу в обоих случаях, нарисуем оба:

Рисунок 1

Целые решения обозначены вертикальными черными линиями, а также точками там, где параболы пересекаются.. Очевидно, что надо найти такое  положение горизонтальной прямой $a$, когда она будет пересекать максимальное число этих вертикалей.

Рисунок 2

На этом рисунке изображены области, где целых решений 3, и эти области закрашены сиреневым цветом. Необходимо определить значения параметра для каждой из них. Для этого будем, двигаясь снизу вверх по оси $a$, подставлять соответствующие значения $x$.

Самая нижняя сиреневая полоска, от $x=0$ до $x=2$. Обратим внимание на то, что значение $x=0$ мы будем подставлять в то неравенство, которое "работает" под разделительной прямой $ a = -\frac{2x}{3}$, а $x=2$ будем подставлять в то неравенство, которое является рабочим над ней:

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant -1}\\{ a \leqslant \frac{9-4-12}{9}}\end{matrix}}$$

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant -1}\\{ a \leqslant \frac{-7}{9}}\end{matrix}}$$

Средняя сиреневая полоска, от $x=-1$ до $x=1$ (аналогично, подставляем эти значения в разные неравенства):

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant \frac{(-1)^2+6-9}{9}}\\{ a \leqslant \frac{9-(-1)^2-6}{9}}\end{matrix}}$$

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant -\frac{2}{9}}\\{ a \leqslant \frac{2}{9}}\end{matrix}}$$

Верхняя сиреневая полоска, от $x=-2$ до $x=0$:

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant \frac{(-2)^2+12-9}{9}}\\{ a \leqslant 1}\end{matrix}}$$

$$\begin{bmatrix}{a \geqslant \frac{7}{9}}\\{ a \leqslant 1}\end{matrix}}$$

Итак, наконец, записываем ответ:

$a \in [-1;-\frac{7}{9}] \cup[-\frac{2}{9}; \frac{2}{9}] \cup[\frac{7}{9}; 1] $