Система с параметром. Теорема Виета.

При решении этой задачи была использована теорема Виета, и это очень облегчило решение и сделало его прозрачным. Заметить, что именно этот путь надо выбрать, может помочь опыт решения подобных задач.

Задача. При каких значениях параметра $a$ система имеет больше двух решений?

$$\begin{Bmatrix}{y^2-2xy+4y-x^4-2x^3+4x^2=0}\\{y –ax+3a-1=0}\end{matrix}$$

Рассмотрим первое уравнение системы. Его можно рассматривать как квадратное относительно $y$:

$$y^2-(2x-4)y-x^2(x^2+2x-4)=0$$

Теперь, когда уравнение записано в такой форме, хорошо видно, что удобно применить теорему Виета. Тогда сумма корней - $2x-4$, а произведение - $ -x^2(x^2+2x-4)$.

Тогда получили систему:

$$\begin{Bmatrix}{\begin{bmatrix}{y=-x^2}\\{y= x^2+2x-4}}\end{matrix}\\{y =a(x-3)+1}\end{matrix}$$

Получили две параболы и прямую, которая меняет свой угол наклона, или еще говорят – пучок прямых. Центр нашего пучка находится в точке (3; 1).

Пучок прямых

Теперь предстоит исследовать эту систему, вращая нашу прямую. Начнем с положения прямой, показанного на рисунке.

Рисунок 1.

При таком положении прямой имеем касание и 2 пересечения, то есть три решения. Определим положение прямой в такой ситуации.

$$-x^2= a(x-3)+1$$

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть $D=0$:

$$x^2+ ax-3a+1=0$$

$$D=a^2-4(1-3a)=a^2+12a-4=0$$

В свою очередь, дискриминант этого уравнения:

$$D=144+16=160$$

$$a=\frac{-12 \pm \sqrt{160}}{2}=-6 \pm 2\sqrt{10}$$

Корень $a=-6 + 2\sqrt{10}$ соответствует рисунку, когда касание происходит вблизи вершины. Если начнем увеличивать коэффициент наклона из этого положения, то скоро придем к положению прямой, показанному на рисунке 2.

Рисунок 2.

При этом $a=1$, и прямая пересекает систему двух парабол ровно в двух точках, то есть нас устраивают значения параметра $a \in [-6 + 2\sqrt{10};1)$.

Увеличивая далее коэффициент наклона, будем все время иметь три корня, до положения, когда прямая будет касаться параболы $ y= x^2+2x-4$.

Рисунок 3.

Определим значение параметра при касании:

$$ x^2+2x-4= a(x-3)+1$$

$$ x^2+2x-4- a(x-3)-1=0$$

$$ x^2+x(2-a)+3a-5=0$$

При касании такое уравнение должно иметь один корень, то есть $D=0$:

$$D=(2-a)^2-4\cdot(3a-5)=4-4a+a^2-12a+20=0$$

$$a^2-16a+24=0$$

$$D=256-4\cdot24=160$$

$$a=\frac{16 \pm \sqrt{160}}{2}=8 \pm 2\sqrt{10}$$

Итак, второй промежуток устраивающих нас положений прямой, и, следовательно, значений параметра - $a \in (1; 8 - 2\sqrt{10}]$.

Вращаем прямую дальше, и видим, что решений два вплоть до момента, когда наша прямая коснется правой ветви параболы $ y= x^2+2x-4$ вверху. После этого касания, которому соответствует значение параметра $a=8 + 2\sqrt{10}$, снова будем иметь три решения: $a \in [8 + 2\sqrt{10};+\infty)$.

Из положения прямой, когда $a=+\infty$, «перешагнем» к положению $ a=-\infty$. Такое значение параметра нас устраивает вплоть до $a = -6 - 2\sqrt{10}$, когда прямая коснется параболы $y=-x^2$ справа. Тогда еще один интервал, который мы возьмем в решение - $a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{10}]$.

Записываем ответ: $a \in (-\infty; -6 - 2\sqrt{10}] \cup [-6 + 2\sqrt{10};1) \cup (1; 8 - 2\sqrt{10}] \cup [8 + 2\sqrt{10};+\infty)$.