Системы с параметром

Решим две системы с параметром. В обоих случаях необходимо большое число решений. 

Задача 1.

При каких значениях параметра $a$ система $$\begin{cases}{2\mid xy-3y-4x+12\mid=a^2+2a-z-30}\\{ 3a^2-a-z-32=0}\\{ z-x^2-y^2+6x+8y=0}\end{cases}$$ имеет 4 решения? Решение. $$\begin{rcases}{2\mid x-3\mid \cdot\mid y-4\mid=-2a^2+3a+2} \\ { (x-3)^2+(y-4)^2=3a^2-a-7}\\{ z=3a^2-a-32}\end{rcases}$$ Введем новые обозначения: $$\mid x-3\mid=u$$ $$\mid y-4\mid=\upsilon$$ Каждому $u>0$ соответствует 2 решения, 2 значения $x$, каждому $u=0$ - одно. Каждому $\upsilon>0$ соответствует 2 решения, 2 значения $y$, каждому $\upsilon=0$ - одно. Для любого $a$ существует единственное значение $z$. Система приобрела вид: $$\begin{Bmatrix*}{ 2u\upsilon=-2a^2+3a+2} \\ {u^2+\upsilon^2=3a^2-a-7} \\ { z=3a^2-a-32}\end{Bmatrix*}$$ Видно, что замена $u$ на $\upsilon$ ничего не изменит, то есть система симметрична, значит, если есть решение $(u_0; \upsilon_0; z)$, то будет и решение $( \upsilon_0; u_0; z)$. Нам нужно 4 решения, поэтому либо $u>0; \upsilon=0$, либо $\upsilon>0; u=0$, либо же имеем одно решение вида $(u;u)$. Рассмотрим вариант $u=0$. $$\begin{Bmatrix*}{-2a^2+3a+2=0} \\ {\upsilon^2=3a^2-a-7}\end{Bmatrix*}$$ $$\begin{Bmatrix*}{a=2} \\ { \upsilon^2=3}\end{Bmatrix*}$$ $$\begin{Bmatrix*}{a=-\frac{1}{2}} \\ { \upsilon^2=-\frac{23}{4}}\end{Bmatrix*}$$ Второе решение постороннее. Рассмотрим вариант $\upsilon=0$. $$\begin{Bmatrix*}{ -2a^2+3a+2=0} \\ { u^2=3a^2-a-7}\end{Bmatrix*}$$ Получим то же самое. $a=2$ забираем в ответ. Теперь случай $u>0$, решение вида $(u; u)$ $$\begin{Bmatrix*}{ 2u^2=-2a^2+3a+2}\\{ 2u^2=3a^2-a-7}\end{Bmatrix*}$$ Получаем $$5a^2-4a-9=0$$ $$a=-1$$ $$a=\frac{9}{5}$$ При $a=-1$ $u^2=-\frac{3}{2}$ - посторонний корень. При $a=\frac{9}{5}$ -  $u^2>0$. В ответ забираем $a=\frac{9}{5}$. Ответ: $a=2$ или $a=\frac{9}{5}$.

Задача 2.

При каких значениях параметра $a$ система $$\begin{Bmatrix}{ (ay+ax+3)(y-x=a)=0}\\{ \mid xy \mid =a}\end{Bmatrix}$$ имеет 6 решений? Решение: при $a=0$ решение одно. Поэтому $a>0$. $$\begin{Bmatrix*}{\begin{Bmatrix}{y=-x-\frac{3}{a}}\\{\mid y \mid=\frac{a}{\mid x \mid}}\end{Bmatrix}} \\ {  \begin{Bmatrix}{y=x-a}\\{\mid y \mid=\frac{a}{\mid x \mid}}\end{Bmatrix}}\end{Bmatrix*}$$ Шесть решений будет, если первая система совокупности имеет 4 решения, а вторая – 2, или наоборот, – первая – два решения, а вторая четыре. По три решения быть не может – так или иначе получится квадратное уравнение, да и модуль обеспечивает четное число решений. Первый случай. Первая система совокупности имеет 4 решения, а вторая – 2.

Крайний случай - касание. Первая система при небольшом сдвиге синей прямой будет иметь 4 решения.

Это будет при пересечении $y=\frac{a}{x}$ при $x<0$ и $ y=-x-\frac{3}{a}$. Это прямая и гипербола. Условие касания: $$-\frac{a}{x^2}=-1$$ $$x=-\sqrt{a}$$ $$y=-\sqrt{a}$$ $$a=\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$$ При таком $a$ будет касание, при $a<\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$ - пересечение. Система 2 имеет два решения, если прямая $y=x-a$ проходит выше точки касания. Условие касания: $$1=\frac{a}{x^2}$$ $$x=\sqrt{a}$$ $$y=-\sqrt{a}$$ $$-\sqrt{a}=\sqrt{a}-a$$ $$\sqrt{a}=2$$ $$a=4$$ При $a<4$ будет 2 решения. То есть при $0<a<4$. В итоге $a \in (0; \frac{3}{\sqrt[3]{6}})$. Второй случай. Первая система совокупности имеет 2 решения, а вторая – 4.

Второй случай - первая система имеет два решения, вторая - 4.

Вторая система имеет 4 решения при $a>4$. Первая имеет 2 решения при $a>\frac{3}{\sqrt[3]{6}}$. В итоге - $a \in (4; \infty)$. Ответ: $a \in (0; \frac{3}{\sqrt[3]{6}})\cup (4; \infty)$.