Реальный профильный ЕГЭ 2016. Задание 18.

Задача. Найти все такие значения параметра, при котором уравнение имеет один корень:

$$\frac{x^3+x^2-9a^2x-2x+a}{x^3-9a^2x}=1$$

Решим это задание сначала аналитически, а потом графически.

Аналитическое решение.

Знаменатель не должен быть равен нулю:

$$ x^3-9a^2x \neq 0$$

$$ x(x^2-9a^2) \neq 0$$

$$ x(x-3a)(x+3a) \neq 0$$

Тогда $x \neq 0$, $x \neq 3a$, $x \neq -3a$.

Преобразуем уравнение:

$$x^3+x^2-9a^2x-2x+a= x^3-9a^2x$$

$$x^2-2x+a= 0$$

Один корень это уравнение будет иметь при $D=0$:

$$D=b^2-4ac=4-4a=0$$

$$a=1$$

Теперь, подставив в это уравнение «запрещенные» значения $x$, получим еще три значения параметра. При $x=0$ имеем $a=0$, при $x=3a$:

$$(3a)^2-2\cdot3a+a=0$$

$$9a^2-6a+a=0$$

$$9a^2-5a=0$$

$$a(9a-5)=0$$

$$a=\frac{5}{9}$$

При $x=-3a$:

$$(-3a)^2+2\cdot3a+a=0$$

$$9a^2+6a+a=0$$

$$9a^2+7a=0$$

$$a(9a+7)=0$$

$$a=-\frac{7}{9}$$

Проверим, правы ли мы, выполнив графическое решение.

Имеем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq -3a }\\{ x\neq 3a }\\{ x^2-2x+a = 0}\end{matrix}$$

Перепишем систему:

$$\begin{Bmatrix}{ a \neq -\frac{x}{3} }\\{ a \neq \frac{x}{3} }\\{ a= 2x - x^2}\end{matrix}$$

Построим все в системе координат $a(x)$. Имеем две прямые и параболу. Необходимо выколоть точки пересечения параболы с прямыми:

Задача с параметром реального ЕГЭ 2016

Тогда можем определить абсциссы точек пересечения. Первая точка:

$$2x - x^2=-\frac{x}{3}$$

$$\frac{7x}{3} - x^2=0$$

$$x=\frac{7}{3}$$

Если $a=-\frac{x}{3}$, то

$$a=-\frac{1}{3} \cdot \frac{7}{3}=-\frac{7}{9}$$

Вторая точка:

$$2x - x^2=\frac{x}{3}$$

$$\frac{5x}{3} - x^2=0$$

$$x=\frac{5}{3}$$

Если $a=\frac{x}{3}$, то

$$a=\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{3}=\frac{5}{9}$$

Также, если построить прямые $a=0$ и $a=1$, мы тоже получим единственный корень.

Одно решение при a=1 и a=0.

Ответ: $a \in{-\frac{7}{9}} \cup {0} \cup{\frac{5}{9}} \cup {1}$.