Простой параметр

Еще одна совсем несложная задача с параметром, которая может быть использована для «входа» в параметры.

Задача. Найдите все значения параметра $a$, при которых уравнение

$$(x^2+4x+1)^2+2(x^2+4x)+5+a=0$$

имеет два различных корня.

Решение. В уравнении просматривается замена. Можно ее провести по-разному, но я предлагаю $t=x^2+4x+1$, тогда оно примет вид

$$t^2+2(t-1)+5+a=0$$

$$t^2+2t+3+a=0$$

Или

$$a=-t^2-2t-3$$

Парабола, ветви вниз, координаты вершины – $(-1; -2)$.

Заметим, что

$$t=x^2+4x+1=x^2+4x+4-3=(x+2)^2-3$$

Чтобы уравнение имело два корня, необходимо, чтобы исходное уравнение имело бы один корень, и чтобы он был неотрицателен: $t \geqslant 0$. Так как $(x+2)^2>0$, то $t \in [-3; +\infty)$

Для определения количества решений двигаем горизонтальную прямую сверху вниз. При $a>-2$ она не пересекает параболу - нет и решений. И так смещаем данную прямую, отмечая количество пересечений с параболой. Тогда из рисунка видно,

что при $a<-6$ решение 1, при $a=-6$ - два, при $-6<a<2$ - 2 корня, при $a=-2$ - 1 решение (вершина параболы), при $a>-2$ решений нет.

Ответ: $a=-2, a<-6$.