Площадь фигуры и параметр

Когда какое-либо уравнение задает фигуру, то всегда должна получиться замкнутая ломаная линия, причем линии излома можно просто установить. Понадобятся и геометрические  знания: вспомним коэффициент подобия.

Задача. При каких  значениях параметра $a$ площадь фигуры, заданной уравнением

$$\mid 2x+y \mid + \mid x-y+3 \mid \leqslant a$$

будет равна 24?

Определяем линии излома графиков, приравнивая подмодульные выражения к нулю:

$$2x+y=0$$

$$y=-2x$$

$$ x-y+3=0$$

$$y=x+3$$

Две эти прямые разобьют плоскость на четыре зоны. Над и под этими линиями соответствующие модули будут нами раскрыты либо с «плюсом», либо с «минусом», я показала это знаками в каждой из зон. Красными показаны знаки при снятии знака модуля с выражения $2x+y$, синим - при снятии знака модуля с выражения $ x-y+3$.

Рисунок 1. Построение линий излома.

Тогда в «восточной» зоне, где оба знака – «плюс», получим:

$$2x+y  +  x-y+3  \leqslant a$$

$$3x+3  \leqslant a$$

$$x \leqslant \frac{a}{3}-1$$

В «западной» зоне, где оба знака – «минус», получим:

$$-2x-y  -  x+y-3  \leqslant a$$

$$-3x-3  \leqslant a$$

$$x \geqslant -\frac{a}{3}-1$$

В «северной» зоне получим:

$$2x+y  -  x+y-3  \leqslant a$$

$$x+2y-3  \leqslant a$$

$$y \leqslant -\frac{x}{2}+1,5+\frac{a}{2}$$

Наконец, «южная» зона:

$$-2x-y  +  x-y+3  \leqslant a$$

$$-x-2y+3  \leqslant a$$

$$y \geqslant -\frac{x}{2}+1,5-\frac{a}{2}$$

Все прямые, которые необходимо строить, зависят от параметра. Как быть в такой ситуации? Давайте просто зададимся каким-нибудь значением параметра, и построим то, что получится. Возьмем $a=3$. При таком значении параметра имеем:

Восточная зона: $x \leqslant 0$

Западная зона: $x \geqslant -2$

Северная зона: $y \leqslant -\frac{x}{2}+3$

Южная зона: $y \geqslant -\frac{x}{2}$

Строим:

Рисунок 2. Построение прямой в каждой из зон.

У нас получился параллелограмм. Его высота 2, а основание  - 3. Поэтому площадь - $S_m=6$. Нам же надо, чтобы площадь была больше, и больше ровно в 4 раза. Тогда

$$\frac{S}{S_m}=4$$

Как известно, отношение площадей равно квадрату коэффициента подобия, значит, он равен 2. Поэтому стороны нашего искомого параллелограмма должны быть вдвое больше. Этому будет соответствовать значение параметра, вдвое большее принятого нами: если $a=6$, то

Восточная зона: $x \leqslant 1$

Западная зона: $x \geqslant -3$

Северная зона: $y \leqslant -\frac{x}{2}+4,5$

Южная зона: $y \geqslant -\frac{x}{2}-1,5$

Строим:

Рисунок 3. Параллелограмм с площадью 24.

Ответ: $a=6$.

Попробуем и другой способ решения: вершины параллелограмма находятся в точках пересечения линий излома $y=-2x$ и $y=x+3$  и линий $x_1 \leqslant \frac{a}{3}-1$ и $x_2 \geqslant -\frac{a}{3}-1$. Определим эти точки пересечений.

$$y_1=-2x=-2(\frac{a}{3}-1)=-\frac{2a}{3}+2$$

$$y_2=x+3=\frac{a}{3}-1+3=\frac{a}{3}+2$$

Тогда длина стороны параллелограмма равна $y_2-y_1=\frac{a}{3}+2-(-\frac{2a}{3}+2)=a$.

Таким же способом определим и высоту параллелограмма:

$$h=x_1-x_2=\frac{a}{3}-1-(-\frac{a}{3}-1)=\frac{2a}{3}$$

Площадь параллелограмма равна $S=h(y_2-y_1)=\frac{2a^2}{3}=24$, откуда $a=6$.