Параметр: окружности и прямая

Систему из двух окружностей пересекает прямая. Прямая меняет свой коэффициент наклона, и нужно найти все такие коэффициенты наклона этой прямой, чтобы пересечений с окружностями было бы три или более.

Задача. При каком значении параметра система имеет больше двух решений?

$$\begin{Bmatrix}{6x+6y-18=\mid x^2+y^2-9 \mid}\\{y=ax+3}\end{matrix}$$

Раскроем модуль. Он будет сниматься с положительным знаком, если подмодульное выражение неотрицательно, и с отрицательным, если подмодульное выражение меньше 0:

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ 6x+6y-18= x^2+y^2-9 }\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ 6x+6y-18=-x^2-y^2+9 }\\{  x^2+y^2-9<0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ x^2-6x+9+y^2-6y+9=9}\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{ x^2+6x+9+y^2+6y+9=45 }\\{ x^2+y^2-9 <0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ (x-3)^2+(y-3)^2=3^2 }\\{ x^2+y^2-9\geqslant 0}\end{matrix}}\\{\begin{Bmatrix}{  }(x+3)^2+(y+3)^2=45\\{x^2+y^2-9<0}\end{matrix}\\{y=ax+3}}\end{matrix}$$

Мы получили две окружности: первая с центром в точке $(3; 3)$, радиусом 3, причем нас интересует та ее часть, что находится вне окружности радиуса 3 с центром в начале координат, и вторая, радиусом $3\sqrt{5}$, с центром в точке $(-3; -3)$,  причем нас интересует та ее часть, которая находится внутри  окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Прямая, которая будет их пересекать, вращается вокруг точки с координатами $(0,3)$.

«Стыковка» окружностей будет происходить в точках $C$ и $D$.

Рисунок 1

Будем вращать нашу прямую, отыскивая нужные нам положения, такие, чтобы пересечений прямой и окружностей было бы три или более.

Примем за начальное (исходное) положение прямой такое, когда она проходит через точки $C$ и $D$. При этом значение параметра (и коэффициента наклона прямой) равно $a=-1$. Это значение нас не устраивает: решений 2. Будем вращать прямую против часовой.

Замечаем, что при таком вращении три решения будут вплоть до тех пор, пока прямая не станет касательной к большей окружности.

Рисунок 2

Выясним, какой коэффициент наклона у прямой при этом будет. Для этого выразим $y$ из уравнения прямой и подставим в уравнение большей окружности. Потребуем, чтобы данное уравнение имело один корень,  то есть его дискриминант должен быть равен нулю:

Итак, уравнение прямой:

$$y=ax+3$$

Подставим в уравнение окружности:

$$(x+3)^2+(y+3)^2=45$$

$$(x+3)^2+(ax+3+3)^2=45$$

Имеем:

$$x^2+6x+9+a^2x^2+12ax+36=45$$

$$x^2+a^2x^2+6x+12ax=0$$

$$x^2(1+a^2)+6x(1+2a)=0$$

$$\frac{D}{4}=9(1+2a)^2=0$$

$$2a=-1$$

$$a=-0,5$$

Это значение параметра дает три решения, его заберем в ответ. Получилось, что все $a$ от $(-1)$ до $-\frac{1}{2}$ (включая последнее) нам годятся.

Ответ: $a \in (-1;-\frac{1}{2}]$