Параметр, модуль и пары параллельных прямых

В этой задаче нам придется не только раскрывать два модуля, но потом и построить получившиеся прямые, а их будет несколько, и найти, где области между прямыми и заданный промежуток не имеют общих точек.

Задача. Найти значение параметра $a$, при котором решение неравенства $$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid <1$$

не имеет общих точек с множеством $x \in [3;4]$.

Для решения представим неравенство в таком виде:

$$\mid x+a- \mid 2a-\frac{x}{2} \mid \mid -1<0$$

Теперь, имея разность двух положительных величин, применяем прием «домножение на сопряженное выражение»:

$$(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid-1)(x+a-\mid 2a-\frac{x}{2} \mid+1)<0$$

Далее будем привлекать графику себе на помощь. Линия $2a-\frac{x}{2}=0$ - важная линия излома графиков, которые мы получим. Выше этой линии мы будем раскрывать модуль с «плюсом», а ниже – с «минусом».

Тогда выше нашей ключевой линии $a=\frac{x}{4}$  получим:

$$(x+a-2a+\frac{x}{2}-1)(x+a-2a+\frac{x}{2}+1)<0$$

$$(a-\frac{3x}{2}+1)(a-\frac{3x}{2}-1)<0$$

Получили две параллельные прямые, обе проходят выше границы $a=\frac{x}{4}$:

$$ a-\frac{3x}{2}+1=0$$

$$ a-\frac{3x}{2}-1=0$$

Теперь ниже этой границы:

$$(x+a+2a-\frac{x}{2}-1)(x+a+2a-\frac{x}{2}+1)<0$$

$$(3a+\frac{x}{2}-1)(3a+\frac{x}{2}+1)<0$$

И снова две параллельные:

$$3a+\frac{x}{2}-1=0$$

$$3a+\frac{x}{2}+1=0$$

Теперь изобразим все на плоскости $XOA$, построим прямые:

$$ a=\frac{3x}{2}-1$$

$$ a=\frac{3x}{2}+1$$

$$ a=-\frac{x}{6}+\frac{1}{3}$$

$$ a=-\frac{x}{6}-\frac{1}{3}$$

Первые две – рыжим, вторые две – темно зеленые. В соответствии с неравенствами нам нужны внутренние области между прямыми, выше одной параллельной, но ниже другой – я их отметила цветом.

Рисунок 1. Построение граничных прямых.

Нам необходимо выделить промежуток $x \in [3;4]$ и на этой полоске найти те области, где решений нет. Выделяем нужный промежуток коричневыми вертикальными прямыми.  Голубым цветом отмечены области решения, фиолетовыми прямыми – интересующие нас граничные значения параметра.

Рисунок 2. Выделение промежутков, которые войдут в ответ.

Первый, самый нижний участок: $a \in (-\infty; -1]$.

Второй, средний промежуток. Подставим $x=3$ в выражение для прямой

$ a=-\frac{x}{6}+\frac{1}{3}$, получим нижнюю границу:

$$ a=-\frac{3}{6}+\frac{1}{3}=-\frac{1}{6}$$

А подставив  $x=3$ в выражение для прямой $a=-\frac{3x}{2}-1$, получим верхнюю границу:

$$a=-\frac{3\cdot 3}{2}-1=\frac{7}{2}$$

Средний промежуток: $a \in [-\frac{1}{6}; \frac{7}{2}]$.

Наконец, самый верхний участок: $a \in [7;\infty)$ - определение его нижней границы выполните самостоятельно.

Ответ: $a \in (-\infty; -1] \cup [-\frac{1}{6}; \frac{7}{2}] \cup [7;\infty)$.