Параметр, модуль и нечетное количество корней уравнения

При решении этой задачи будет использована идея, не лежащая на поверхности. Идея связана с требованием найти значения параметра, такие, чтобы решений было три – и это наталкивает на мысль о нечетном количестве корней четной функции, когда два корня расположены симметрично относительно начала координат,  а третий – в нуле, точно «посередине».

Задача. При каких значениях параметра $a$ уравнение

$$\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=a$$

имеет ровно три решения?

Проверим идею с нечетным количеством корней, попробовав подставить вместо $x$ выражение $\frac{2x-1}{3x-2}$:

$$\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{2\cdot\frac{2x-1}{3x-2}-1}{3\cdot \frac{2x-1}{3x-2}-2}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{ \frac{4x-2}{3x-2}-1}{ \frac {6x-3}{3x-2}-2}\right|=$$

$$=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left|\frac{ \frac{4x-2-3x+2}{3x-2}}{ \frac{6x-3-6x+4}{3x-2}}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left| \frac{\frac{x}{3x-2}}{ \frac{1}{3x-2}}\right|=\left|\frac{2x-1}{3x-2}\right|+\left| x \right|$$

Получили то же самое, то есть, если есть корень $x=x_0$, то есть и корень $x=\frac{2x_0-1}{3x_0-2}$. А поскольку количество корней нечетное, то корни должны совпадать:

$$x=\frac{2x-1}{3x-2}$$

$$\frac{2x-1}{3x-2}-\frac{x(3x-2)}{3x-2}=0$$

$$\frac{2x-1-3x^2+2x}{3x-2}=0$$

$$\frac{3x^2-4x+1}{3x-2}=0$$

$$3x^2-4x+1=0$$

Корни этого уравнения $x=1$ и $x=\frac{1}{3}$. Подставляем эти значения в исходное уравнение и находим значения параметра:

$$1 + \left|\frac{2-1}{3-2} \right|=a$$

$$a=2$$

И

$$\frac{1}{3} + \left|\frac{\frac{2}{3}-1}{1-2} \right|=a$$

$$a=\frac{2}{3}$$

Нам мало получить параметр, надо еще проверить полученные значения. Подставляем их в уравнение и проверяем количество корней:

Первое значение $a=2$.

$$\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=2$$

Домножаем на знаменатель:

$$\mid 3x^2-2x \mid =2 \left|3x-2 \right|-\left|2x-1\right|$$

Слева – очень понятный график параболы, построить которую совсем несложно: строим саму параболу и отражаем вверх ту ее часть, что оказалась под осью $x$.Вершина параболы будет в точке $(\frac{1}{3}; \frac{1}{3})$.

А вот то, что справа…  это надо поработать! Сначала определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

$$3x-2=0$$

$$x=\frac{2}{3}$$

$$2x-1=0$$

$$x=\frac{1}{2}$$

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале $(-\infty; \frac{1}{2})$ оба модуля раскрываем с минусом:

$$y_1=-2 (3x-2)+(2x-1)=-6x+4+2x-1=-4x+3$$

На отрезке $[\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]$ первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

$$y_2=-2 (3x-2)-(2x-1)=-6x+4-2x+1=-8x+5$$

На интервале $(\frac{2}{3};\infty)$ оба модуля раскрываем с плюсом:

$$y_3=2 (3x-2)-(2x-1)=6x-4-2x+1=4x-3$$

Теперь строим:

Рисунок 1

Теперь, если мы убедимся в том, что в точке $(1;1)$ произойдет именно касание графиков, то получим три пересечения, что нам и надо. Проверяем это: уравнение касательной в точке $x_0=1$ будет таким:

$$y=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)=3\cdot1^2-2+(6-2)(x-1)=1+4x-4=4x-3$$

Получили как раз выражение, описывающее кусочно-линейную функцию на третьем интервале.

Таким долгим и непростым путем мы-таки доказали, что значение параметра $a=2$ подходит. Осталось чуть-чуть: проверить второе значение: $a=\frac{2}{3}$.

$$\mid x \mid + \left|\frac{2x-1}{3x-2} \right|=\frac{2}{3}$$

Домножаем на знаменатель:

$$\mid 3x^2-2x \mid =\frac{2}{3} \left|3x-2 \right|-\left|2x-1\right|$$

$$\mid 3x^2-2x \mid = \left|2x-\frac{4}{3} \right|-\left|2x-1\right|$$

Слева – тот же самый график параболы.

Чтобы построить кусочно-линейную функцию справа,  определим точки перемены знаков подмодульных выражений.

$$2x-\frac{4}{3} =0$$

$$x=\frac{2}{3}$$

$$2x-1=0$$

$$x=\frac{1}{2}$$

Теперь нужно раскрыть модули, и построить кусочно-линейную функцию.

На интервале $(-\infty; \frac{1}{2})$ оба модуля раскрываем с минусом:

$$y_1=- (2x-\frac{4}{3})+(2x-1)=-2x+\frac{4}{3}+2x-1=\frac{1}{3}$$

На отрезке $[\frac{1}{2}; \frac{2}{3}]$ первый модуль раскрываем с минусом, а второй – с плюсом:

$$y_2=- (2x-\frac{4}{3})-(2x-1)=-2x+\frac{4}{3}-2x+1=-4x+2\frac{1}{3}$$

На интервале $(\frac{2}{3};\infty)$ оба модуля раскрываем с плюсом:

$$y_3= (2x-\frac{4}{3})-(2x-1)=2x-\frac{4}{3}-2x+1=-\frac{1}{3}$$

Теперь строим:

Рисунок 2

Видно и из рисунка, и по расчету, что касание произойдет в вершине параболы. Еще два пересечения также видны. Соответственно, это значение параметра тоже подходит.

Ответ: $a=2$ и $a=\frac{2}{3}$.